第05讲 函数与导数中的分段函数问题（知识与技能）-2022年高考数学函数与导数（知识、技能、题型训练）重点突破

第5讲 函数与导数中的分段函数问题 分段函数是函数中比较复杂的一种函数，其要点在于自变量取不同范围的值时所使用的解析式不同，所以在解决分段函数的问题时要时刻盯着自变量的范围是否在发生变化。即“分段函数——分段看” 1.分段函数的定义：若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,则这种函数称为分段函数. 2.分段函数的定义域和值域：分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数. 3.分段函数的单调性的判断，方法一：数形结合，方法二：先求每一段的单调性，再写出整个函数的单调性. 4.分段函数的奇偶性的判断，方法一：定义法.方法二：数形结合. 5.分段函数分析要注意的几个问题 （1）分段函数在图像上分为两类，连续型与断开型，判断的方法为将边界值代入每一段函数（其中一段是函数值，另外一段是临界值），若两个值相等，那么分段函数是连续的。否则是断开的。例如： ，将 代入两段解析式，计算结果相同，那么此分段函数图像即为一条连续的曲线，其性质便于分析。再比如 中，两段解析式结果不同，进而分段函数的图像是断开的两段。 （2）每一个含绝对值的函数，都可以通过绝对值内部的符号讨论，将其转化为分段函数。例如： ，可转化为： （3）遇到分段函数要时刻盯住变量的范围，并根据变量的范围选择合适的解析式代入，若变量的范围并不完全在某一段中，要注意进行分类讨论 （4）如果分段函数每一段的解析式便于作图，则在解题时建议将分段函数的图像作出，以便必要时进行数形结合。 考向一：分段函数的解析式求解 求分段函数的解析式，一般一段一段地求，最后综合.即先分后总.注意分段函数的书写格式为： ，不要写成 .注意分段函数的每一段的自变量的取值范围的交集为空集，并集为函数的定义域 .一般左边的区域写在上面,右边的区域写在下面. 例题：（2021·河南郑州·（理））已知函数 ，当 时， ，若在区间 内，函数 有四个不同零点，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路分析】 【详解】因 时， ，则 时， ， ， 时， ， ， 时， ， ， 的图象如图： 则在 内， 有四个不同零点，当且仅当 的图象与直线y=a有四个不同的公共点， 观察图象知，只需在 内， 的图象与直线y=a