第12讲 成比例线段与平行线分线段成比例-【帮课堂】2021-2022学年九年级数学上册同步精品讲义（北师大版）

第12讲 成比例线段与平行线分线段成比例 SHAPE \* MERGEFORMAT 知识点01 比例线段 在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即 ，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 【知识拓展】（1）在一幅比例尺是1：5000000的地图上，量得上海到杭州的距离是3.4cm．那么上海到杭州的实际距离是（　　） A．17km B．34km C．170km D．340km 【答案】C 【详解】解： （厘米）， 17000000厘米＝170千米， 答：上海到杭州的实际距离是170千米， 故选：C． （2）如果A、B两地的实际距离为50米，画在地图上的距离 厘米，那么图上距离与实际距离的比为（ ） A．1：10 B．1：100 C．1：1000 D．1：10000 【答案】C 【详解】 米等于 厘米，所以 ， 故选C． 知识点02 比例的基本性质 (1)基本性质： ⇔ ad＝bc；（b、d≠0） (2)合比性质： ⇔ ＝ ；（b、d≠0） (3)等比性质： ＝…＝ ＝k(b＋d＋…＋n≠0)⇔ ＝k.（b、d、···、n≠0） 【知识拓展】（1）已知 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由比例的性质，得 ， 故选：B． （2）若 ，则下列比例式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、由 得，2x=3y，故本选项不符合题意； B、由 得，3x=2y，故本选项符合题意； C、由 得，2x=3y，故本选项不符合题意； D、由 得，xy=6，故本选项不符合题意． 故选：B． （3）若 ≠0，则 ＝__． 【答案】 【详解】设 ＝k，则a＝2k，b＝3k，c＝4k， ∴ ＝ ＝ ＝ ． 故答案为： 知识点03 平行线分线段成比例定理 （1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则 . （2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB∥CD，则 . （3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似． 如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC. 【知识拓展】（1）如图，在 ABC中，点D在AB边上，点E在BC边上，过点D作DG BC，交AC于点G，过点E作EH AB，交AC于点H，DG的延长线与EH的延长线交于点F，则下列式子一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵DG BC， ∴ ，故A选项错误； ∵DG BC， ∴ ，故B选项错误； ∵EH AB， ∴ ，故C选项正确； ∵EH AB， ∴ ，故D选项错误． 故选：C． （2）如图，已知一组平行线a b c，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB＝3，BC＝4，EF＝4.8，则DE的长为__． 【答案】3.6 【详解】解：∵a∥b∥c， ∴ ， 即 ， ∴DE＝3.6， 故答案为：3.6． 【即学即练】 知识点04黄金分割 点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果≈0.618，那么线段AB被点C黄金分割．其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．＝= 【知识拓展】如图所示，以长为2的定线段 为边作正方形 ，取 的中点P，连接 ，在 的延长线上取点F，使 ，以 为边作正方形 ，点M在 上． （1）求 的长； （2）点M是 的黄金分割点吗？为什么？ 【答案】（1） = ， = ；（2）是，理由见解析 【详解】解：（1）在 中， ， ，由勾股定理知 ， ， ． 故 的长为 ， 的长为 ； （2）点 是 的黄金分割点． 由于 ， 点 是 的黄金分割点． SHAPE \* MERGEFORMAT 1.比例的性质 1．（1）已知： ，求 的值； （2）已知： ，求 的值； （3）已知： ，求 的值． 【难度】★★ 【答案】（1） ；（2）26；（3）11． 【解析】（1）令 ，得 ，原式= ； （2） 令 ，得 ，原式= ； （3） 令 ，得 ，原式= ． 【总结】考查换元思想，也可采用【例14】确定单位“1”的思想． 2.．设线段 、 、 满足 ，求 、 、 的值． 【难度】★★ 【答案】 ． 【解析】由（1）可得 ，再结合（2） ，可得： ，由此可得到 ，结合（2）式可解得 ． 【总结】考查比例的等比性质的应用． 3．设 ，求 的值． 【难度】★★ 【答案】0． 【解析】根据分式基本性质，得 ， 令 ，则有 ， ， ，三式相加，即得 ． 【总结】考查比例的性质的综合应用． 2.比例线段 1．如图，在梯形 中， // ，对角线 、 相交于