第二章 等式与不等式 章末整合提升-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册同步核心辅导与测评教师用书（人教B版）

章末整合提升 本章学习了描述数量关系的等式和不等式的有关内容．依照知识之间的联系，完成如下的知识结构图． 类型1　不等式的性质及其应用 易出错的不等式的性质 (1)同向不等式可以相加；异向不等式可以相减；但异向不等式不可以相加，同向不等式不可以相减． 若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d， 若a＞b，c＜d，则a－c＞b－d. (2)左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘． 若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd，或a＞b＞0，0＜c＜d，则. ＞ (3)左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方． 若a＞b＞0，则an＞bn或. ＞ (4)若ab＞0，a＞b，则，＜ 若ab＜0，a＞b，则. ＞ 　(1)(多选题)如果a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则以下选项中一定成立的是(　　) A．ab＞ac　　　　　　　　 B．c(b－a)＞0 C．cb2＜ab2 D．ac(a－c)＜0 (2)已知a＞0，b＞0，且a≠b，比较与a＋b的大小．＋ 【尝试解答】　(1)c＜b＜a，ac＜0⇒a＞0，c＜0. 对于A：⇒ab＞ac，A正确． 对于B：⇒c·(b－a)＞0，B正确． 对于C：⇒cb2≤ab2⇒/ cb2＜ab2，C错误． 即C不一定成立． 对于D：ac＜0，a－c＞0⇒ac(a－c)＜0，D正确，选ABD. 答案：ABD (2)因为－(a＋b) ＝＋－a＝－b＋ ＝(a2－b2) ＝(a2－b2)， ＝ 因为a＞0，b＞0，且a≠b， 所以(a－b)2＞0，a＋b＞0，ab＞0， 所以＞a＋b.＋－(a＋b)＞0，即 eq \a\vs4\al() 不等式比较大小的常用方法 (1)作差比较法：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果． (2)作商比较法：常用于分数指数幂的代数式． (3)乘方转化的方法：常用于根式比较大小． 1．若a，b∈R，且＞1，则下列不等式成立的是(　　) A．a－b＞0 B．＞ C．a2＜b2 D．a(a－b)＞0 解析：可采取特殊值法逐一检验判断． 取a＝1，b＝2，满足＞1可得b＞a＞0或b＜a＜0，因此必有a2＜b2，C项成立．＞1，但a(a－b)＜0，故D不成立．由，故B不成立；取a＝1，b＝2，满足＜＞1，但＞1，但a－b＜0，故A不成立；取a＝－1，b＝－2，满足 答案：C 类型2　一元二次方程及其根与系数的关系 1．关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，x∈R的解集 (1)当Δ＝b2－4ac＜0时，方程的解集为∅； (2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程的解集为； (3)当Δ＝b2－4ac＞0时，方程的解集为{}．， 2．设x1，x2是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两实根． 则x1＋x2＝－. ，x1x2＝ 提醒：利用韦达定理解题的前提是方程两实根存在即Δ≥0 　已知关于x的一元二次方程(x－3)(x－2)＝p(p＋1)． (1)试证明：无论p取何值，此方程总有两个实数根； (2)若原方程的两根x1，x2，满足x－x1x2＝3p2＋1，求p的值．＋x 【尝试解答】　方程(x－3)(x－2)＝p(p＋1)化为x2－5x＋6－p2－p＝0. (1)Δ＝b2－4ac＝25－4(6－p2－p)＝25－24＋4p2＋4p ＝4p2＋4p＋1＝(2p＋1)2≥0 故方程总有两个实数根． (2)x1＋x2＝5，x1x2＝6－p2－p 由x－x1x2＝3p2＋1得(x1＋x2)2－3x1x2＝1＋3p2＋x 即25－18＋3p2＋3p＝1＋3p2 解得p＝－2. eq \a\vs4\al() 一元二次方程根与系数的关系的运用 (1)已知一元二次方程的一根，求另一根； (2)不解方程，求关于一元二次方程的根x1，x2的代数式的值，如： ①x＝(x1＋x2)2－2x1x2；＋x ②；＝＋ ③|x1－x2|＝. 提醒：若二次项系数中含有字母时，要注意讨论． 　　 2．已知关于x的方程x2－mx＋2m－1＝0的两个实数根的平方和为7，则实数m的值为________． 解析：设方程两实根为x1，x2，则x1＋x2＝m，x1x2＝2m－1，由x＝7即(x1＋x2)2－2x1x2＝7，∴m2－4m＋2＝7解得m＝5或m＝－1，又Δ＝m2－4(2m－1)≥0.＋x 故m＝－1. 答案：－1 类型3　一元二次不等式的解法 1．如果x1＜x2，则不等式(x－x1)(x－x2)＜0的解集是(x1，x2)；不等式(x－x1)(x－x2)＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)． 2．配方法：一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)，配方可化为(x－h)2＞k或(x－h)2＜k的形式，再讨论k的符号，即可求得原不等式的解集． 　(1)已知关于x