5.1.2 数据的数字特征-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学必修第二册同步核心辅导与测评教师用书（人教B版）

.1.2　数据的数字特征 1．综合实例理解平均数、中位数、百分位数、众数、极差的意义，会计算数据的数字特征，提升数学抽象，数学运算素养． 2．理解方差与标准差的意义和作用，会计算数据的标准差，提升数学分析核心素养． 　平均数、中位数、百分位数、众数 1．一组数据的众数、百分位数、中位数、平均数是否是唯一的？ 提示：中位数、平均数是唯一的，而众数、百分位数可能是不唯一的． 2．在众数、百分位数、平均数、中位数中哪些是一定出现在已知数据中的，哪些不一定出现在已知数据中？ 提示：众数一定会出现在已知数据中，而平均数、中位数、百分位数不一定出现在已知数据中． 1．平均数 (1)定义：如果给定的一组数是x1，x2，…，xn，则这组数的平均数为(x1＋x2＋…＋xn)． ＝ 这一公式在数学中常简记为i. ＝ (2)求和符号∑的性质： ①i； i＋(xi＋yi)＝ ②i； (kxi)＝k ③＝nt. (3)平均数的性质：如果x1，x2，…，xn的平均数为＋b. ，且a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均数为a (4)统计含义：平均数对数据有“取齐”的作用，代表该组数据的平均水平．任何一个数据的改变都会引起平均数的变化，这是众数、百分位数和中位数都不具有的性质．所以与众数、百分位数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低． 2．中位数、百分位数 (1)中位数的意义：一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于中间位置的数称为这组数据的中位数． (2)中位数的统计含义：一组数据中的中位数是唯一的，反映了该组数据的集中趋势． (3)百分位数：直观来说，一组数的p%分位数指的是，将这组数按照从小到大的顺序排列后，处于p%位置的数．例如，中位数就是一个50%分位数，是特殊的百分位数．当数据个数较多时，借助百分位数可了解更多的信息及这组数据的分布特点． 3．众数 (1)定义：一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的频数，出现次数最多的数据称为这组数据的众数． (2)统计含义：一组数据中的众数可能不止一个，也可能没有，反映了该组数据的集中趋势． 众数、中位数、百分位数、平均数的优缺点 (1)众数体现了样本数据的最大集中点，但显然它对其他数据信息的忽视使得无法客观地反映总体特征． (2)中位数(百分位数)是样本数据所占频率的等分线或占百分之几的数，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点． (3)由于平均数与每一个样本的数据有关，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数都不具有的性质．也正因为这个原因，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息．但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低． 　极差、方差与标准差 1．当样本数据的标准差为0时，该组数据有何特点？ 提示：当样本数据的标准差为0时，该组数据都相等． 2．方差与标准差与原始数据的单位如何？试分析在解决实际问题中的差异． 提示：标准差与原始数据的单位相同，方差的单位是原始数据单位的平方．方差主要是平方后夸大了偏离的程度，虽然它们均反映了样本数据的离散程度，但在实际问题中常用标准差． 1．极差：一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差．不难看出，极差反应了一组数的变化范围，描述了这组数的离散程度． 2．方差：如果x1，x2，…，xn的平均数为，则方差为 s2＝)2. (xi－ 此时，若a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2. 3．标准差即方差的算术平方根． 方差、标准差的统计含义：方差、标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度和离散程度的大小．标准差、方差较大，数据的离散程度较大；标准差、方差较小，数据的离散程度较小． 1．下列选项中，能反映一组数据的离散程度的是(　　) A．平均数　　　　　 B．中位数 C．方差 D．众数 解析：由方差的定义，知方差反映了一组数据的离散程度． 答案：C 2．在某次考试中，10名同学得分如下：84,77,84,83,68,78,70,85,79,95，则这一组数据的众数和中位数分别为(　　) A．84,68 B．84,78 C．84,81 D．78,81 解析：显然，在样本容量为10的这组数据中，众数是84.将这10个数据按由小到大的顺序排列： 68,70,77,78,79,83,84,84,85,95，所以中位数是＝81. 答案：C 3．(多选)下列关于50%分位数的说法错误的是(　　) A．50%分位数就是中位数 B．总体数据中的任意一个数小于它的可能性一定是5