5.1.2 导数的概念及其几何意义-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评教师用书（人教A版）

5．1.2　导数的概念及其几何意义 对于抛物线y＝x2在(0，＋∞)上是减函数，但在各点处递减的趋势不同，如何定量、定性描述呢？ 1．了解导数概念的实际背景． 2．会利用导数的定义求函数在某点处的导数及其几何意义． 3．培养学生数学运算、逻辑推理、直观想象的学科素养．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．函数f(x)在x＝x0处的导数 如果当Δx→0时，平均变化率. ＝，即f′(x0)＝有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′无限趋近于一个确定的值，即 2．函数在x0处的导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． k0＝＝f′(x0)．_ 3．导函数 从求函数y＝f(x)在x＝x0处导数的过程可以看到，当x ＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数．这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即 f′(x)＝y′＝．_ [独立思考] 1．f′(x0)与f′(x)有什么区别？ 提示：f′(x0)是一个确定的数，而f′(x)是一个函数． f′(x0)是f′(x)当x＝x0时的函数值． 2．曲线的切线与曲线一定只有一个公共点吗？ 提示：不一定．除切点外，还可能有其它公共点． 3．导数的取值与函数变化有什么关系？ 提示：若f′(x0)＝0，表示曲线在x＝x0附近比较平坦，几乎没有升降． 若f′(x0)>0，表示在x＝x0附近曲线上升，|f′(x0)|越大，曲线越陡． 若f′(x0)<0，表示在x＝x0附近曲线下降，|f′(x0)|越大，曲线越陡. 　求函数在某一点处的导数 [小组探究] 若函数f(x)在x0处可导且＝a，那么f′(x0)＝？ [互动探究] 例1►　(1)设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且 ＝a，则f′(x0)＝________． 【解析】　∵ ＝ ＝－3f′(x0)＝a， ∴f′(x0)＝－a. 【答案】　－a (2)利用导数的定义求函数f(x)＝在x＝1处的导数． 【解】　∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1) ＝－1， ∴， ＝＝ ∴f′(1)＝. ＝＝ eq \a\vs4\al() 1．求函数y＝f(x)在点x0处的导数的三个步骤 简称：一差，二比，三极限． 2.瞬时变化率的变形形式 ＝ ＝ ＝ ＝f′(x0)． [合作交流] 1．求函数f(x)＝3x2－2x在x＝1处的导数． 解：∵Δy＝3(1＋Δx)2－2(1＋Δx)－(3×12－2×1) ＝3(Δx)2＋4Δx， ∴＝3Δx＋4， ＝ ∴y′ (3Δx＋4)＝4.＝＝ 　求曲线在某点处的切线方程 [小组探究] 函数f(x)＝x2在(0，0)处的切线是什么？ [互动探究] 例2►　求曲线y＝处的切线方程．在点 【解】　因为y′(x－2)，即x＋4y－4＝0.＝－，由直线的点斜式方程可得切线方程为y－处的切线斜率为－，所以这条曲线在点＝－＝＝ eq \a\vs4\al() 一般地，设曲线C是函数y＝f(x)的图象，P(x0，y0)是曲线C上的定点，由导数的几何意义知k＝，继而由点与斜率可得点斜式方程，化简得切线方程．＝ [合作交流] 2．已知曲线y＝x2，求曲线在点(1，1)处的切线方程． 解：设切点为(x0，y0)， ∵y′,Δx)＝ ＝,Δx)＝2x0， ＋2x0·Δx＋（Δx）2－x ∴y′＝2. ∴曲线在点(1，1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)， 即y＝2x－1. 　求切点坐标 [小组探究] 函数y＝(x＋1)2上存在斜率为0的切线吗？若存在，切点坐标是多少？ [互动探究] 例3►　已知抛物线y＝2x2＋1，求： (1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0? (2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0? 【解】　设点的坐标为(x0，y0)，则 Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2， ∴＝4x0＋2Δx. 当Δx无限趋近于零时，无限趋近于4x0. 即f′(x0)＝4x0. (1)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0， ∴斜率为4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1，3)． (2)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直， ∴斜率为8，即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，该点为(2，9)． eq \a\vs4\al() 根据切线斜率求切点坐标的步骤 (1)设切点坐标为(x0，y0)； (2)求导函数f′(x)； (3)求切