第四章 数列 章末小结-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评教师用书（人教A版）

章末小结 1．求数列的前n项和的方法 (1)公式法： ①等差数列的前n项和公式 Sn＝. ＝na1＋ ②等比数列的前n项和公式 a．当q＝1时，Sn＝na1； b．当q≠1时，Sn＝. ＝ (2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列． (3)裂项相消：把一个数列的通项分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩有限项再求和． (4)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和． (5)倒序相加：把数列正着写和倒着写再相加，例如等差数列前n项和公式的推导方法． (6)并项求和：将某些具有某种特殊性质的项放在一起先求和，再求整体的和． 角度1　分组转化法求和 例1►　已知数列{an}的前n项和是3＋2－1，6＋22－1，9＋23－1，12＋24－1，…，写出数列{an}的通项并求其前n项和Sn. 【解】　由已知得，数列{an}的通项公式为 an＝3n＋2n－1＝3n－1＋2n， ∴Sn＝a1＋a2＋…＋an ＝(2＋5＋…＋3n－1)＋(2＋22＋…＋2n) ＝＋ ＝n(3n＋1)＋2n＋1－2. eq \a\vs4\al() an＝bn±cn，数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，采用分组求和法求{an}的前n项和． [跟踪训练] 1． 解：由于 ∴1＋11＋111＋…＋ ＝(10n－1)(103－1)＋…＋(102－1)＋(101－1)＋ ＝(101＋102＋103＋…＋10n)－ ＝－· ＝(10n＋1－10－9n)． 角度2　裂项相消法求和 例2►　Sn为数列{an}的前n项和，已知an>0，a＋2an＝4Sn＋3. (1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和． 【解】　(1)由a＋2an＝4Sn＋3， 可知a＋2an＋1＝4Sn＋1＋3. 可得a＋2(an＋1－an)＝4an＋1.－a 即2(an＋1＋an)＝a＝(an＋1＋an)(an＋1－an)．－a 由于an>0，可得an＋1－an＝2. 又a＋2a1＝4a1＋3， 解得a1＝－1(舍去)，a1＝3. 所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列． 所以通项公式为an＝2n＋1. (2)由an＝2n＋1可知 bn＝. ＝＝ 设数列{bn}的前n项和为Tn，则 Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝ ＝ ＝. eq \a\vs4\al() 常见的裂项公式 (1)an＝f(n＋1)－f(n)； (2)an＝；－＝ (3)an＝；＝ (4)an＝；＝ (5)an＝)；－(＝ (6)bn＝(其中{an}是公差为d的等差数列)；＝ (7)an＝. ＝ [跟踪训练] 2．正项数列{an}满足a－(2n－1)an－2n＝0. (1)求数列{an}的通项公式an； (2)令bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)由a－(2n－1)an－2n＝0， 得(an－2n)(an＋1)＝0. 因为{an}是正项数列，所以an＝2n. (2)由an＝2n，bn＝， 得bn＝，所以＝ Tn＝.＝＝ 角度3　错位相减法求和 例3►　已知等比数列{an}的首项为a1＝2，前n项和为Sn，且a2是3S2－4与2－S1的等差中项． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝(n＋1)an，Tn是数列{bn}的前n项和，n∈N*，求Tn. 【解】　(1)由2a2＝3S2－， S1－2知q＝ ∴an＝. (2)由(1)知，an＝，①＋…＋(n＋1)＋4×＋3×，则Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝2× ∴，②＋…＋(n＋1)＋4×＋3×Tn＝2× ①－②，得－(n＋1)＋Tn＝2× ＝4＋， ＝6－－(n＋1)＝4＋2－2×－(n＋1) ∴Tn＝12－. eq \a\vs4\al() 错位相减法求和 若数列{an}的通项公式为cn＝anbn，其中{an}、{bn}中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q，然后再将得到的新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和． [跟踪训练] 3．设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn. 解：(1)由已知，当n≥1时， an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1 ＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2 ＝22(n＋1)－1. 而a1＝2符合上式， 所以数列{an}的通项公式为an＝22n－1. (2)由bn＝nan＝n·22n－1知 Sn＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n－1，① 从而22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n＋1.② ①－②得(1－22)Sn＝2＋23＋2