5.3.1 函数的单调性-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评教师用书（人教A版）

5．3　导数在研究函数中的应用 5．3.1　函数的单调性 函数f(x)＝x2在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，那么在(－∞，0)及(0，＋∞)上f′(x)有什么特征？ 1．通过具体函数，了解导数与函数单调性的关系． 2．掌握利用导数判断函数单调性的方法和求单调区间． 3．培养学生数学运算、逻辑推理的学科素养．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．函数的单调性与其导数正负的关系 (1)在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系： 导数 函数的单调性 f′(x)>0 单调递增 f′(x)<0 单调递减 f′(x)＝0 常函数 (2)在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系： 函数的单调性 导数 单调递增 f′(x)≥0 单调递减 f′(x)≤0 常函数 f′(x)＝0 特别提醒：(1)若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，在其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)． (2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0. 2．函数的变化快慢与导数的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”． [独立思考] 1．如果函数在某个区间上递增，那么其导数一定为正吗？ 提示：不一定．可能在某个点处导数为0. 2．能使f′(x)>0的区间都是f(x)的单调增区间吗？ 提示：不一定．必须在定义域内. 　利用导数判断(或证明)函数的单调性 [小组探究] 函数y＝x3在R上为增，那么y＝x3＋3x呢？y＝x3－3x呢？ [互动探究] 例1►　证明：函数f(x)＝上单调递减．在区间 【证明】　∵f(x)＝， ，∴f′(x)＝ ∵x∈，∴cos x<0，sin x>0， ∴xcos x－sin x<0， ∴f′(x)<0， ∴f(x)在上单调递减． eq \a\vs4\al() 一般情况下，我们可以通过如下步骤判断函数y＝f(x)的单调性： 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导数f′(x)的零点； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． [合作交流] 1．证明：函数f(x)＝在区间(0，2)上是单调递增函数． 证明：由于f(x)＝， 所以f′(x)＝.＝ 由于0<x<2， 所以ln x<ln 2<1， 故f′(x)＝>0， 即函数f(x)＝在区间(0，2)上是单调递增函数. 　求函数的单调区间 [小组探究] 如何用导数求函数f(x)＝x＋的单调区间？ [互动探究] 例2►　求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x3－2x2＋x； (2)f(x)＝3x2－2ln x. 【解】　(1)函数的定义域为R， ∵f(x)＝x3－2x2＋x， ∴f′(x)＝3x2－4x＋1. 令f′(x)>0，解得x>1或x<. 因此f(x)的单调递增区间是，(1，＋∞)． 令f′(x)<0，解得<x<1. 因此f(x)的单调递减区间是. (2)函数的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝6x－.＝2· 令f′(x)>0，即2·>0， 解得－， <x<0或x> 又x>0，∴x>； 令f′(x)<0，即2·<0， 解得x<－， 或0<x< 又x>0，∴0<x<. ∴f(x)的单调递增区间为； 单调递减区间为. eq \a\vs4\al() 利用导数求函数单调区间的步骤 (1)求函数的定义域； (2)求f′(x)，解不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)； (3)利用不等式的解集与定义域求交集得单调区间． 注意事项： ①求函数的单调区间，必须在函数的定义域内进行． ②如果函数的单调区间有多个时，单调区间不能用“∪”符号连接，只能用“，”或“和”隔开． ③导数法求得的单调区间一般用开区间表示． [合作交流] 2．求函数f(x)＝x3＋的单调区间． 解：法一　函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． f′(x)＝3x2－.＝3 由f′(x)>0，解得x<－1或x>1. 由f′(x)<0，解得－1<x<1，且x≠0. 所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)； 单调递减区间为(－1，0)，(0，1)． 法二　函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． f′(x)＝3x2－；令f′(x)＝0，得x＝±1.＝3 当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－1) －1 (－