5.2.3 简单复合函数的导数-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评教师用书（人教A版）

学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 D. ZXXK. com 您身边的互联网+教辅专家 5.23简单复合函数的导数 ◇情境与问题◇ 若f(x)=(x+1)2,求fx)时,能否按幂函数y=x2的导数公式? ★素养目标★ 1.熟悉常见复合函数的求导方法,并能运用 2.培养学生逻辑推理、数学运算的学科素养 独立思考自主学习区 自主预习高效课堂> 般地,对于由函数y=f4)和u=g(x)复合而成的函数y=fg(x),它的导数与函数y=f (l),u=g(x)的导数间的关系为yx=y·l'′x 即y对x的导数等于y对的导数与u对x的导数的乘积 [独立思考] 1.函数f(x)=e与g(x)=ex+1的导数f(x)、g(x)有什么关系? 提示:g(x)类比f(x)求导,g′(x)=ex+1 2.函数fx)=nx与g(x)=ln(x+1)的导数f(x)、g(x)有什么关系? 提示:g(x)类比f(x)求导,g′(x)=1x+1 合作交流探究学习区 师生互动讲练结合 类型1 求简单的复合函数的导数 小组探究 若f(x)=(2x+1)2,如何按复合函数求导? 互动探究 例1·求下列函数的导数: (1)(x)=(2x+1) 2y=xv(2x+1) (3)(x)=(3x+1)sin(2x+5); (4f(x)=(4x+3)2·hn(3x 【解】(1)f(x)=100×(2x+1)9·(2x+1)=200(2x+1)9 (2y=2x+1)-x·((12x+1)′2x+1= 2x+1122x+1=2x+12x+1)2x+1=2x+1-x(2x+1)w(2x+1)=x+1(2x+1)W(2x (3)(x)=(3x+1)sin(2x+5)+(3x+1)[sin(2x+5)=3sin(2x+5)+2(3x+1)cos(2x+5) (4(x)=2(4x+3)×4n(3x)+(4x+3)2·33x=8(4x+3)ln(3x)+(4x+3)2x 》方法·技巧K 对于复合函数的求导步骤:①首先将函数分解为简单函数:y=f),l=g(x);②对简单 独家授权侵权必究 学科网书坻一 品牌书店·知名教辅·正版资源 D. ZXXK. Com 您身边的互联网+款辅专家 函数求导:f(u),g′(x);③乘积运算:f(l)g(x);④代换:将u=g(x)代入 [合作交流] 1.求下列函数的导数: (1)y=e (2y=log2(4x+5 (3y=cos(x2+1) 解:(1y=e-3+1·(-3x+1) (2y=(4x+5)′(4x+5)hn2=4(4x+5)m2 SIn(x 类型2 复合函数导数的应用 小组探究] 若f(x)=ln(2x+1),则f(O)= [互动探究 例2·(1)曲线fx)=x2+ax+1在点(1,f(1)处切线的倾斜角为3兀4,则实数a=( C.7 D.-7 【解析】f(x)=2x(x+1)-(x2+a)(x+1)2=x2+2x-a(x+1) 又:f(1)=tan3m4=-1,∴a=7 【答案】C 2)已知函数(x)=x+1,n∈N的图象与直线x=1交于点P,若图象在点P处的切线与 x轴交点的横坐标为xn,则log20+log2020x2+..+log20p20的值为() B.1-log20202019 log20192018 【解析】由题意可得点P的坐标为(1,1),fAx)=(mn+1)x,所以系x)图象在点P 处的切线的斜率为n+1,故可得切线的方程为y-1=(mn+1)(x-1),所以切线与x轴交点的 横坐标为xn=m+1,则log20201+log20x2+….+log2020x20o=log200(x1x2 2019 los 02aws4acol(f(12320192020)=log202012020=-1,故选A 【答案】A 》方法·技巧K 复合函数导数的应用,关键是正确求导 合作交流 2.曲线y=(ax+1)e在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a= 解析:y′=(ax+1)ex+(ax+1)(ey=aex+(ax+1) (axtat1)ei 独家授权侵权必究 学科网书坻一 品牌书店·知名教辅·正版资源 D. ZXXK. Com 您身边的互联网+教辅专家 y′laws4 alcoI(x=0)=a+1=-2,∴a= 答案: 3.设曲线y=e2在点(O,1)处的切线与直线2x-y+1=0垂直,则a的值为 解析:y=e2ax·(2amx)'=2ae2x ∴k=f(0=2a,∴2a=-12,∴a=-14 答案:-14 y提升素养评价学习区 规范训练巩固新知》> [问题评价] 复合函数求导法则用错 例若fx)=3e-3,则f(x 【解析】f(x)=(3)e-3+(3)e-3)y=3hn3)e-3+3·e-B·(-3x)y=3e-3n3 3ae