专题20三角函数与解三角形第七缉-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)

备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021) 专题20三角函数与解三角形第七缉 1．【2017年辽宁预赛】如果对任意非负整数都成立,求实数. 【答案】. 【解析】由已知,对任意非负整数都成立,下面用数学归纳法先证明: 对任意非负整数,有 ① 当时,①成立. 假设对于,①成立. 于是有， 由于,故 从而,， 由于,两边取极限,故必有. 因此,. 2．【2017年河南预赛】设,且方程有两个不同的解,求的取值范围. 【答案】或. 【解析】由题意得: 令,由知, 则问题转化为方程在范围内有一个解. 令 ①得. ②得. 故由①、②知的取值范围为或. 3．【2017年湖北预赛】求实数的取值范围,使不等式对恒成立. 【答案】. 【解析】设,则, 故原不等式可化为,即 ① 记,可知在上单调递减,故 若,则当时,不等式①不成立,不符合题设条件. 若或,则对一切与同号,可知不等式①恒成立,符合题意. 因此,所求实数的取值范围是. 4．【2017年湖北预赛】已知函数. (1)证明:; (2)证明：对任意的正整数,有 【答案】证明见解析 【解析】(1)令,则为周期函数,且是周期,故只需考虑. 当时, 又, 所以. 当时，， 又, 所以， 综上所述，. (2)由知,,所以 . 又由柯西不等式得， 故. 5．【2017年陕西预赛】设的内角的对边分别为,向量且存在实数,使. (1)求角的大小; (2)若,求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【解析】(1)由,得 消去,得 由正弦定理,得,即. 所以. 因为,所以. (2)由(1)的结论,得. 由已知及正弦定理,得, 为,所以,所以. 故的取值范围为. 6．【2017年甘肃预赛】在中,的对边分别为,且上的中线的长为. (1)求和的大小; (2)求的面积. 【答案】(1)；(2). 【解析】(1)由,得所以 又,所以. 由,得,即. ,即为钝角,所以为锐角,且,则, 简得,解得,所以. (2)由知,,由余弦定理得解得, 故 7．【2017年安徽预赛】设,证明: 【答案】证明见解析 【解析】首先证明：当时,. 实际上,令,则因此,在内单调递增,故,即. 同理可证,. 故要证原命题,只需证明， 易计算得， 根据均值不等式，， 当且仅当时,. 因此,在区间上单调递增,进而. 证毕. 8．【2017年湖南预赛】在锐角中,,且为角的对边. (1)求的值; (2)若,试求当取得最大值时,的面积的值. 【答案】(1)；(2). 【解析】(1)因为为锐角,, 所以.. (2)因为. 由余弦定理,得 即,当且仅当时等号成立. 所以 9．【2017年新疆预赛】已知是正数,且满足 【答案】 【解析】解法一原方程组可化为， ① 由此联想到余弦定理,构造. 在内存在一点点即为以AB为弦的弧与以BC为弦的弧的交点),使得.设,, 那么， 又, 故有 ② 将①中三式相加,得到， 再将②带人可得， 于是. 解法二 将原式两两相减并整理可得， 设,则有， 将其代入得， 整理可得. 于是,或.当时,,矛盾.从而,. 10．【2017年新疆预赛】如图,边长为2的等边三角形中,是的中点,分别是边上的动点. (1)若,求证:为定值. (2)若,此时是否为定值?若是,请给出证明;否则,求出的取值范围. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】(1)设. 于是有， 由于,在中用正弦定理可得 . ③ 在中用正弦定理可得. ④ 将③与④相加得 . 从而,为定值. (2)设.当与重合时最大,为; 当与重合时最小,为.故.将其他量用表示出, 得到. 由于,在中用正弦定理可得： . ⑤ 在中用正弦定理可得 . ⑥ 将⑤与⑥相加得. 由于,故从而，, 即. 因此,不是定值,其范围为. 11．【2016年陕西预赛】设均为非零实数，且满足. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）在中，若，求的最大值. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】（Ⅰ）先对已知条件左右两边同除以，得到，再令，即可得到，从而得到的表达式，进而可求出的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）可求出的值，从而可得到的值，用表示，代入到中，最终式子变成了一个二次函数的形式，利用三角函数的有界性可求出最值. 试题分析：（Ⅰ）由已知得， 令，则，即 所以，即. 故. （Ⅱ）由（Ⅰ）得，因为， 所以，从而， 则. 所以 故当，即时，取得最大值为. 考点：1.三角函数恒等变换；2.二倍角公式的应用；3.二次函数求最值；4.观察能力. 【方法点晴】本题主要考查的是三角函数恒等变换,二倍角公式的应用,二次函数求最值，属于难题，此类首先不要被其形式吓倒，注意观察其形式特点，发现要求的值，给出的条件中并未体现，因此需要对等式的左右两边同除以，即可得到的形式，变形之后观