第9期 不等式综合-【数理报】2021-2022学年高中数学必修5（北师大版）

书书书 提示： １．因为原点Ｏ和点Ｐ（１，１）在直线ｘ＋ｙ－ａ＝０的两侧，所以（－ａ） ·（１＋１－ａ）＜０，解得０＜ａ＜２． ２．因为ａ·ｂ＝３ｘ＋２ｙ，则令ｚ＝３ｘ＋２ｙ， 作出ｘ，ｙ满足约束条件下的平面区域，如图９ 所示，由图知，当目标函数 ｚ＝３ｘ＋２ｙ经过点 Ａ（１，１）时取得最大值ｚｍａｘ＝３×１＋２×１＝５， 经过点Ｂ １ ４，( )１４ 时取得最小值 ｚｍｉｎ＝３× １ ４ ＋２× １ ４ ＝ ５ ４，所以ａ·ｂ的取值范围是 ５ ４，[ ]５． ３．画出不等式组表示的平面区域（图略），结合图形可知当０＜ｍ＜ ２，且动直线ｙ＝ｍｘ－ｚ (经过点 １２， )３ 时，动直线在ｙ轴上的截距最大， ｚ＝ｍｘ－ｙ取得最小值，即 １２ｍ－３＝－ ５ ２，解得ｍ＝１；同理，当 －２＜ ｍ＜０时，ｍ＝ １３，当ｍ＜－２时，ｍ＝－ ５ ６，都矛盾，舍去． ４．画出约束条件表示的可行域，如图１０ 阴影部分所示， ｙ＋２ ｘ 表示点Ａ（０，－２）与可行 域内动点（ｘ，ｙ）连线的斜率，由图可知Ａ，Ｂ两 点连线斜率最小，由 ｘ＋ｙ＝４， ｙ＝－{ １ 可得 Ｂ（５， －１），则ｋＡＢ＝ －１＋２ ５ ＝ １ ５，即ｋ的值为 １ ５． 二、填空题 ５．３；　６．２． 提示： ６．作出不等式组表示的平面区域（图略），考查目标函数ｚ＝ｘ－ｙ的 最值，由几何意义可知，目标函数在点（０，１）处取得最小值 ｚｍｉｎ＝０－１ ＝－１， (此时 )１２ ｘ－ｙ (取得最大值 )１２ －１ ＝２． 三、解答题 ７．解：设该公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为ｘ分钟和 ｙ分钟，总收益为ｚ元， 由题意得 ｘ＋ｙ≤３００， ５００ｘ＋２００ｙ≤９００００， ｘ≥０，ｙ≥０ { ， 即 ｘ＋ｙ≤３００， ５ｘ＋２ｙ≤９００， ｘ≥０，ｙ≥０ { ， 目标函数为ｚ＝３０００ｘ＋２０００ｙ． 作出二元一次不等式组所表示的平面区 域，如图１１所示．作直线ｌ：３０００ｘ＋２０００ｙ＝０， 即３ｘ＋２ｙ＝０．平移直线ｌ，由图可知，当直线ｌ过 Ｍ点时，目标函数取得最大值． 联立 ｘ＋ｙ＝３００， ５ｘ＋２ｙ＝９００{ ， 解得 ｘ＝１００， ｙ＝２００{ ． 所以点Ｍ的坐标为（１００，２００）． 所以ｚｍａｘ＝３０００ｘ＋２０００ｙ＝７０００００（元）． 故该公司在甲电视台做１００分钟广告，在乙电视台做２００分钟广告， 公司的收益最大，最大收益是７０万元． ８．解：（１）不等式组表示的平面区域如 图１２所示， ｚ＝ｙ＋５ｘ＋５＝ ｙ－（－５） ｘ－（－５）可看作区域内的 点（ｘ，ｙ）与Ｄ（－５，－５）连线的斜率， 由图可知，ｋＢＤ≤ｚ≤ｋＣＤ， 即 ４ ５ ≤ｚ≤ ２６ １５． 所以ｚ的取值范围为 ４ ５， ２６[ ]１５ ． （２）一般情况下，当ｚ取得最大值时，直线所经过的点都是唯一的，但 若直线平行于边界直线，即直线ｚ＝ａｘ＋ｙ平行于直线３ｘ＋５ｙ＝３０时，线 段ＢＣ上的任意一点均使ｚ取得最大值． 此时满足条件的点即最优解有无数个． 又ｋＢＣ＝－ ３ ５，所以 －ａ＝－ ３ ５，所以ａ＝ ３ ５． ９．解：（１）已知的不等式组等价于 １≤ｘ＋ｙ≤４， ｙ＋２≥２ｘ－３， ２ｘ－３≥ { ０ 或 １≤ｘ＋ｙ≤４， ｙ＋２≥－（２ｘ－３）， ２ｘ－３＜０ { ． 故得点（ｘ，ｙ）所在平面区域为如图１３所 示的阴影部分（含边界）． 其中ＡＢ：ｙ＝２ｘ－５；ＢＣ：ｘ＋ｙ＝４；ＣＤ：ｙ ＝－２ｘ＋１；ＤＡ：ｘ＋ｙ＝１． （２）ｆ（ｘ，ｙ）表示直线ｌ：ｙ－ａｘ＝ｂ在ｙ轴上 的截距，且直线ｌ与（１）中所求区域有公共点． 因为ａ＞－１，所以当直线ｌ过点Ｃ时，ｆ（ｘ， ｙ）最大． 因为Ｃ点的坐标为（－３，７），所以ｆ（ｘ，ｙ）的最大值为７＋３ａ． 如果 －１＜ａ≤２，那么直线ｌ过点Ａ（２，－１）时，ｆ（ｘ，ｙ）最小，最小值 为 －１－２ａ． 如果ａ＞２，那么直线ｌ过点Ｂ（３，１）时，ｆ（ｘ，ｙ）最小，最小值为１－３ａ． ９期参考答案 不等式章节测试题 一、选择题 １～６　ＣＡＤＣＣＣ　　７～１２　ＣＣＣＢＣＤ 提示： ３．不等式组表示的平面区域如图１所示，则ｚ＝２ｘ－ｙ过点（２，０）时 取最小值，ｚｍｉｎ＝４． ４．首先比较ａ，ｂ，即比较３ｌｎ２与２ｌｎ３的大小，因为３ｌｎ２＝ｌｎ８＜ｌｎ９ ＝２ｌｎ３，所以ａ＜ｂ，故排除（Ｂ），（Ｄ），同理可得ｃ＜ａ． ５．因为 ａ ２ ｘ ＋ ｂ２ １－ｘ＝ ａ２ ｘ ＋ ｂ２ １( )－ｘ［ｘ＋（１－ｘ）］＝ａ２＋ｂ２＋ ａ２（１－ｘ） ｘ ＋ ｂ２ｘ １－ｘ，又 ａ２（１－ｘ） ｘ ＋ ｂ２ｘ １－ｘ≥２ａｂ，当且仅当ｘ＝ ａ ａ＋ｂ时等号 成立，所以 ａ２ ｘ ＋ ｂ２ １－ｘ的最小值为（ａ＋ｂ） ２． ６．（Ａ）选项当ｘ＝ １２时不成