不等式复习大阅兵-【数理报】2021-2022学年高中数学必修5复习专号（北师大版）

书书书 复习导言 纵观近几年的高考试题，从题型上来看，选择、填 空题主要考查不等式的性质、比较大小等；解答题主要 考查不等式的解法、范围和最值型等综合问题．我们复 习时要在上述的几个方面多下功夫． 题型解析 题型一：比较大小问题 例１现给出下列三个不等式：①ａ２＋１＞２ａ；②ａ２ ＋ｂ２ ＞２ａ－ｂ－( )３２ ；③（ａ２＋ｂ２）（ｃ２＋ｄ２）＞（ａｃ＋ ｂｄ）２．其中恒成立的不等式共有 （　　） （Ａ）０个　　（Ｂ）１个　　（Ｃ）２个　　（Ｄ）３个 解析：对于①，因为ａ２－２ａ＋１＝（ａ－１）２≥０，所 以当ａ＝１时，ａ２＋１＝２ａ，所以ａ２＋１＞２ａ不恒成立． 对于②，因为ａ２＋ｂ２－２ａ－ｂ－( )３２ ＝（ａ２－２ａ＋１）＋（ｂ２＋２ｂ＋１）＋１ ＝（ａ－１）２＋（ｂ＋１）２＋１＞０， 所以ａ２＋ｂ２ ＞２ａ－ｂ－( )３２ 恒成立． 对于③，因为（ａ２＋ｂ２）（ｃ２＋ｄ２）－（ａｃ＋ｂｄ）２ ＝ａ２ｄ２＋ｂ２ｃ２－２ａｂｃｄ， 所以当ａｄ＝ｂｃ时， （ａ２＋ｂ２）（ｃ２＋ｄ２）－（ａｃ＋ｂｄ）２ ＝（ａｄ－ｂｃ）２ ＝０． 所以（ａ２＋ｂ２）（ｃ２＋ｄ２）＞（ａｃ＋ｂｄ）２不恒成立． 综上判断可知，应选择（Ｂ）． 点评：此题属于两个代数式比较大小，实际上比较 它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之 后，判断差值的正负． 例 ２已知 ａ＞ｂ＞ｃ＞０，求证：ａ２ａｂ２ｂｃ２ｃ ＞ ａｂ＋ｃｂｃ＋ａｃａ＋ｂ． 证明：由ａ＞ｂ＞ｃ＞０得ａｂ＋ｃｂｃ＋ａｃａ＋ｂ ＞０． 所以 ａ２ａｂ２ｂｃ２ｃ ａｂ＋ｃｂｃ＋ａｃａ＋ｂ ＝ａａ－ｂ·ａａ－ｃ·ｂｂ－ｃ·ｂｂ－ａ·ｃｃ－ａ·ｃｃ－ｂ ＝ ａ( )ｂ ａ－ｂ · ａ( )ｃ ａ－ｃ · ｂ( )ｃ ｂ－ｃ ． 因为ａ＞ｂ＞０，所以 ａｂ ＞１，ａ－ｂ＞０， 即 ａ( )ｂ ａ－ｂ ＞１．同理 ｂ( )ｃ ｂ－ｃ ＞１， ａ( )ｃ ａ－ｃ ＞１． 所以 ａ２ａｂ２ｂｃ２ｃ ａｂ＋ｃｂｃ＋ａｃａ＋ｂ ＞１，即ａ２ａｂ２ｂｃ２ｃ ＞ａｂ＋ｃｂｃ＋ａｃａ＋ｂ． 点评：此题易出现在不讨论ａｂ＋ｃｂｃ＋ａｃａ＋ｂ＞０的前提 下，就开始作商，或在未得到ａ－ｂ＞０，且 ａｂ ＞１的条 件下，就得出商大于１，这些都是解题不严谨的表现，解 题时要注意这一点． 题型二：一元二次不等式的解法 例３不等式ｘ－３ｘ＋２＜０的解集是 ． 分析：分ｘ＜０，ｘ＞０两种情况，把不等式化成整式 不等式即可求解． 解：①当ｘ＜０时，原不等式可化为ｘ２＋２ｘ－３＞ ０，解得ｘ＜－３，或ｘ＞１． 此时原不等式的解集为｛ｘ｜ｘ＜－３｝． ②当ｘ＞０时，原不等式可化为ｘ２＋２ｘ－３＜０，解 得 －３＜ｘ＜１． 此时原不等式的解集为｛ｘ｜０＜ｘ＜１｝． 综上，原不等式的解集为： ｛ｘ｜ｘ＜－３，或０＜ｘ＜１｝． 点评：本题主要考查不等式的性质和一元二次不 等式的解法． 例４若函数ｙ＝ｌｎ（－ｘ２＋ａｘ＋ｂ）的定义域为（１， ２），则ａ＋ｂ＝ ． 分析：函数ｙ＝ｌｎ（－ｘ２＋ａｘ＋ｂ）的定义域，即为不 等式 －ｘ２＋ａｘ＋ｂ＞０的解集，由一元二次不等式的解 法可知，函数定义域的两个端点即为方程 －ｘ２＋ａｘ＋ｂ ＝０的两个解，据此运用根与系数的关系可求出ａ，ｂ的 值，进而求ａ＋ｂ的值． 解：依题意得不等式－ｘ２＋ａｘ＋ｂ＞０的解集为（１， ２），所以 １＋２＝ａ， １×２＝－ｂ{ ，即ａ＝３，ｂ＝－２，所以ａ＋ｂ＝１． 点评：本题是一个一元二次不等式解法的逆向问 题，即已知不等式的解（集）的情形反求参数值（取值 范围）问题，求解的工具是根与系数的关系． 例５若不等式ｘ２－ａｘ＋１＜０在区间［１，２］上恒 成立，求实数ａ的取值范围． 分析：解答本题有两种思路：一是根据函数ｆ（ｘ）＝ ｘ２－ａｘ＋１的图像开口向上，可得若使不等式ｘ２－ａｘ＋ １＜０在区间［１，２］上恒成立，只需 ｆ（１）＜０， ｆ（２）＜{ ０解此不 等式，即得ａ的取值范围；二是把ａ从不等式中分离出 来，结合函数最值求解． 解法一：设ｆ（ｘ）＝ｘ２－ａｘ＋１． 如图１，若使不等式ｘ２－ａｘ＋１＜０ 在 区 间 ［１，２］ 上 恒 成 立， 只 需 ｆ（１）＝２－ａ＜０， ｆ（２）＝５－２ａ＜０{ ， 解得ａ＞ ５２． 所以实数ａ的取值范围是 ５ ２，＋( )∞ ． 解法二：因为ｘ∈［１，２］，所以不等式ｘ２－ａｘ＋１＜ ０可化为ａ＞ｘ＋１ｘ． 设ｆ（ｘ）＝ｘ＋１ｘ，则它在区间［１，２］上是增函数， 所以ｆ（ｘ）ｍａｘ＝ｆ（２）＝ ５ ２． 不等式ｘ２－ａｘ＋１＜０在区间［１，２］上恒成立，即 不等式ａ＞ｘ＋１ｘ在区间［１，２］上恒成立，只需 ａ＞ ｆ（ｘ）ｍａｘ，即只需ａ＞ ５ ２． 所以实数ａ的取值范围是 ５ ２，＋( )∞ ． 点评：本题研究的是一