13.4 最短路径问题-2021-2022学年八年级数学上册同步讲与练(人教版)

13.4 最短路径问题 知识要点 模型1 定直线与两定点 模型 作法 结论 当两定点A、B在直线异侧时，在直线上找一点P，使PA+PB最小。 连接AB交直线于点P，点P即为所求作的点。 PA+ PB的最小。 当两定点A、B在直线同侧时，在直线上找一点P，使PA+PB最小。 作点B关于直线的对称点B′，连接AB′交直线于点P，点P即为所求作的点。 PA+PB的最小值为AB′。 模型2 角到定点 模型 作法 结论 点P在∠AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得△PCD周长最小。 分别作点P关于OA、OB的对称点P′、P"，连接 P′P"，交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求。 △PCD周长最小为P′P"。 点P在∠AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得PD+CD最小。 作点P关于OB的对称点P′，过点P′作P′C⊥OA交OB于点C，点C、D即为所求。 PC+CD的最小值为P′C。 模型3 两定点一定长 模型 作法 结论 如图，在直线上找M、N两 点（M在左），使得AM+MN+NB最小，且MN=。 将点A向右平移个单位到A′，作A′关于直线的对称点A"，连接A"B交直线于点N，将点N向左平移个单位到M，点M、N即为所求。 AM+MN+NB最小为A"B 。 如图，∥，，之间距离为，在，分别找M、N两点，使得MN⊥，且AM+MN+NB最小。 将点A向下平移个单位到A′，连接A′B交直线于点N，将点N向上平移个单位到M，点M、N即为所求。 AM+MN+NB的最小值为A′B+。 模型1：定直线与两点 题型一：两点之间线段最短 【例1】如图，正方形ABCD的边长为8，△BCE是等边三角形，点E在正方形内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为（　　） A、4 B、6 C、8 D、10 【分析】根据正方形ABCD关于对角线AC所在直线对称，确定PD＋PE的最小值等于BE，据此即可求解． 【解析】解：PD＋PE最小值＝BE＝BC＝8． 故选：C． 点评：本题考查了正方形的性质，理解据正方形ABCD关于对角线AC所在直线对称，确定PD＋PE的最小值等于BE是关键． 【例2】如图，△ABC是等边三角形，D，E分别为 BC，AC的中点，P是AD上一动点，当EP＋PC最短时，PE、PC满足的数量关系是 ． 【分析】由等边三角形的性质可知B，C过于直线AD对称，所以连接BE，交AD于点P′，则此时EP＋PC最短，在直角三角形CP′E中，利用30°角所对的直角边是斜边的一半即可得到问题答案． 【解析】解： ∵△ABC是等边三角形，D别为 BC的中点， ∴AD⊥BC，BD＝CD， ∴B，C过于直线AD对称， ∴连接BE，交AD于点P′，则此时EP＋PC最短， ∵E为AC的中点， ∴BE⊥AC，∠ABE＝∠CBE＝30°， ∴∠P′CB＝30°， ∴∠P′CE＝30°， ∴P′E＝P′E， 故答案为：PE＝PC． 【例3】如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是（　　） ①（0，0）；②（0，1）；③（0，2）；④（0，3）． A、 ① B、② C、③ D、④ 【分析】根据轴对称作最短路线得出AE＝B′E，进而得出B′O＝C′O，即可得出△ABC的周长最小时C点坐标． 【解析】解：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点C′， 此时△ABC的周长最小， ∵点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0）， ∴B′点坐标为：（−3，0），AE＝4， 则B′E＝4，即B′E＝AE， ∵C′O∥AE， ∴B′O＝C′O＝3， ∴点C′的坐标是（0，3），此时△ABC的周长最小． 故选：D． 【举一反三】 1.在等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，E为AC的中点，P为AD上一动点，若AD＝12，则PC＋PE的最小值为（　　） A、8 B、12 C、16 D、18 【分析】连接BE交AD于点P，由等边三角形的性质有BP＝CP，所以PC＋PE的最小值为BE的长，求出BE即可． 【解析】解：连接BE交AD于点P， ∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高， ∴B点与C点关于AD对称， ∴BP＝CP， ∴PC＋PE＝BP＋PE≥BE， ∴PC＋PE的最小值为BE的长， ∵AD＝12，E为AC的中点， ∴BE＝12， 故选：B． 2. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8