13.3 第2课时 等边三角形-2021-2022学年八年级数学上册同步讲与练(人教版)

13.3 等腰三角形 第2课时 等边三角形 知识要点 一、等边三角形 等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形. 要点：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形． 二、等边三角形的性质 等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°. 要点：等边三角形每一条边上的高、中线和对角的平分线都三线合一 三、等边三角形的判定 （1）三条边都相等的三角形是等边三角形； （2）三个角都相等的三角形是等边三角形； （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 四、含30°的直角三角形 含30°的直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果有一个锐角是30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半. 几何语言： 在△ABC中,∠ACB=90°∵∠A=30° ∴BC= AB.(在直角三角形中, 30°角所对的直角边等于斜边的一半). 要点：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系. 知识点1：等边三角形 题型一：基本概念 【例1】下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ） A、①②③④ B、①②④ C、①③ D、②③④ 【分析】根据等边三角形的判定判断，三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 【解析】解：①两个角为60度，则第三个角也是60度，则其是等边三角形； ②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形； ③三个外角相等，则三个内角相等，则其是等边三角形； ④根据等边三角形的性质，可得该等腰三角形的腰与底边相等，则三角形三边相等． 所以都正确． 故选：A． 点评：此题主要考查等边三角形的判定，三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 【举一反三】 已知：在△ABC中，∠A＝60°，如要判定△ABC是等边三角形，还需添加一个条件．现有下面三种说法： ①如果添加条件“AB＝AC”，那么△ABC是等边三角形； ②如果添加条件“∠B＝∠C”，那么△ABC是等边三角形； ③如果添加条件“边AB、BC上的高相等”，那么△ABC是等边三角形． 上述说法中，正确的有（ ） A、3个 B、2个 C、1个 D、0个 【分析】利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可判断①正确；由∠A＝60°，∠B＝∠C，利用三角形的内角和定理得到∠B＝∠C＝60°，即三个内角相等，可得出三角形ABC为等边三角形，判断②正确；由HL判定出直角三角形ACD与直角三角形AEC全等，由全等三角形的对应角相等得到∠ACE＝∠BAC＝60°，再利用三角形的内角和定理得到第三个角也为60°，即三内角相等，可得出三角形ABC为等边三角形，判断③正确． 【解析】解：①若添加的条件为AB＝AC，由∠A＝60°， 利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出△ABC为等边三角形； ②若添加条件为∠B＝∠C， 又∵∠A＝60°， ∴∠B＝∠C＝60°， ∴∠A＝∠B＝∠C， 则△ABC为等边三角形； ③若添加的条件为边AB、BC上的高相等，如图所示： 已知：∠BAC＝60°，AE⊥BC，CD⊥AB，且AE＝CD， 求证：△ABC为等边三角形． 证明：∵AE⊥BC，CD⊥AB， ∴∠ADC＝∠AEC＝90°， 在Rt△ADC和Rt△CEA中， AC＝CA，DC＝EA， ∴Rt△ADC≌Rt△CEA（HL）， ∴∠ACE＝∠BAC＝60°， ∴∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°， ∴AB＝AC＝BC，即△ABC为等边三角形， 综上，正确的说法有3个． 故选：A． 题型二：手拉手模型——旋转型全等 △ABC与△CDE为等边三角形 △ACD与△ECB是等腰直角三角形 可证得△ACE≌△BCD（SAS） 可证得△ACE≌△DCB（SAS） 【例1】已知：如图，△DAC、△EBC均是等边三角形，点A、C、B在同一条直线上，且AE、BD分别与CD、CE交于点M、N．求证： （1）AE＝DB； （2）△CMN为等边三角形． 【分析】（1）根据△DAC、△EBC均是等边三角形，求证△ACE≌△DCB（SAS）即可得出结论． （2）由（1）可知：△ACE≌△DCB，和△DAC、△EBC均是等边三角形，求证△ACM≌△DCN（AS