第2期 21.3二次函数与一元二次方程21.4二次函数的应用（答案见下期）-【数理报】2021-2022学年中考数学（沪科版）

书书书 一、理论通鉴 １．ａ的正负决定抛物线的开口方向 当ａ＞０时，开口向上；当ａ＜０时，开口向下． ２．系数ａ和ｂ共同决定抛物线的对称轴 若ａ，ｂ同号，则对称轴ｘ＝－ｂ２ａ＜０，此时对称轴在 ｙ轴的左侧；若ａ，ｂ异号，则对称轴ｘ＝－ｂ２ａ＞０，此时 对称轴在ｙ轴的右侧；若ｂ＝０，则对称轴ｘ＝－ｂ２ａ＝０， 即与ｙ轴重合．可简写成“由ａ定ｂ，左同右异；ｂ值为零， ｙ轴对称．”反之，亦成立． ３．系数ｃ的符号 当ｘ＝０时，ｙ＝ｃ，即抛物线与ｙ轴的交点坐标为 （０，ｃ），所以当ｃ＞０时，抛物线与ｙ轴的交点在ｙ轴正 半轴上；当ｃ＜０时，抛物线与ｙ轴的交点在ｙ轴负半轴 上；当ｃ＝０时，抛物线过原点． ４．ｂ２－４ａｃ决定抛物线与ｘ轴交点的个数 当ｂ２－４ａｃ＞０时，抛物线与ｘ轴有两个交点； 当ｂ２－４ａｃ＝０时，抛物线与ｘ轴有一个交点； 当ｂ２－４ａｃ＜０时，抛物线与ｘ轴没有交点． 二、例题精析 例 已知二次函数 ｙ＝ａｘ２＋ ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）的图象如右图所示， 有下列５个结论：①ａｂｃ＞０；②ｂ＜ ａ＋ｃ；③４ａ＋２ｂ＋ｃ＞０；④２ｃ＜３ｂ； ⑤ｂ２－４ａｃ＜０． 其中正确结论的个数为 （　　） Ａ．２　　　　Ｂ．３　　　　Ｃ．４　　　　Ｄ．５ 解析：由抛物线开口向下，得ａ＜０；由－ｂ２ａ＝１＞０， 得ｂ＞０；由抛物线与 ｙ轴的交点在 ｘ轴的上方，得 ｃ＞０，所以ａｂｃ＜０，故①错； 由图象知，当ｘ＝－１时，ｙ＝ａ－ｂ＋ｃ＜０，所以ａ ＋ｃ＜ｂ，故②错； 由抛物线的对称性知，抛物线与ｘ轴的另一个交点 的横坐标在２与３之间．故当ｘ＝２时，ｙ＝４ａ＋２ｂ＋ｃ ＞０，故③正确； 由 －ｂ２ａ＝１，得ａ＝－ ｂ ２．再由ａ＋ｃ＜ｂ可得－ ｂ ２ ＋ｃ＜ｂ，即２ｃ＜３ｂ，故④正确； 因为抛物线与ｘ轴有２个交点，所以ｂ２－４ａｃ＞０， 故⑤错． 综上所述，正确的结论有２个．故选Ａ． 书书书 如图，在平面直角坐标系中，二 次函数ｙ＝－ｘ２＋６ｘ－５的图象与ｘ 轴交于Ａ，Ｂ两点，与ｙ轴交于点Ｃ，其 顶点为Ｐ，连接ＰＡ，ＡＣ，ＣＰ，过点Ｃ作 ｙ轴的垂线ｌ． （１）求点Ｐ，Ｃ的坐标； （２）直线ｌ上是否存在点Ｑ，使△ＰＢＱ的面积等于 △ＰＡＣ的面积的２倍？若存在，求出点Ｑ的坐标；若不存 在，请说明理由． 书书书 １６．（１）因为抛物 线ｙ＝ａ（ｘ＋ｈ）２的对称 轴是直线ｘ＝－１，所以 －ｈ＝－１，所以抛物线 的表达式为 ｙ＝ａ（ｘ＋ １）２．因为抛物线过点 （２，－３），所以 －３＝ ９ａ，解得ａ＝－１３，所以 抛物线的表达式为 ｙ ＝－１３（ｘ＋１） ２． （２）由（１）可知其 顶点坐标为（－１，０）． （３）因为ａ＝－１３ ＜０，所以抛物线开口 向下．因为对称轴为直 线ｘ＝－１，所以当 ｘ ＜－１时，ｙ随 ｘ的增大 而增大． １７．当ｘ＝０时，ｙ＝ ３，则Ａ点坐标为（０，３）． 因为ＢＣ∥ｘ轴，所以Ｂ， Ｃ点的纵坐标都为３．当 ｙ＝３时，１３ｘ ２ ＝３，解 得ｘ１＝－３，ｘ２＝３，所以 Ｂ点坐标为（－３，３），Ｃ 点坐标为（３，３），所以 ＢＣ＝３－（－３）＝６． １８．（１）因为ｙ＝ｙ１ ＋ｙ２，ｙ１与ｘ ２成正比，ｙ２ 与ｘ－２成正比，所以设 ｙ１ ＝ｋ１ｘ ２，ｙ２ ＝ｋ２（ｘ－ ２）．所以ｙ＝ｋ１ｘ ２＋ｋ２（ｘ －２）．因为当ｘ＝１时，ｙ ＝１；当 ｘ＝－１时，ｙ ＝－ ５， 所 以 可 得 ｋ１－ｋ２ ＝１， ｋ１－３ｋ２ ＝－５ { ，解 得 ｋ１ ＝４， ｋ２ ＝３ { ．所以 ｙ＝４ｘ２ ＋３（ｘ－２）＝４ｘ２＋３ｘ－ ６．即ｙ与ｘ的函数表达 式是ｙ＝４ｘ２＋３ｘ－６． （２）当 ｘ＝０时，ｙ ＝４×０２ ＋３×０－６ ＝－６．即当 ｘ＝０时，ｙ 的值是 －６． １９．（１）当 ｘ＝ｃ 时，ｙ＝０，即ａｃ２＋ｂｃ＋ｃ ＝ｃ（ａｃ＋ｂ＋１）＝０．又 ｃ＞１，所以ａｃ＋ｂ＋１＝ ０．因为当０＜ｘ＜ｃ时， 书书书 上期２版 ２１．１二次函数 基础训练　１．Ｄ；　２．Ａ；　３．ｍ≠２． ４．（１）正方体的棱长ｘ（ｃｍ）与正方体体积Ｖ（ｃｍ３） 之间的函数关系为：Ｖ＝ｘ３，不是二次函数． （２）这两个数的乘积 ｐ与较大的数 ｍ的函数关系 为：ｐ＝ｍ（ｍ－５）＝ｍ２－５ｍ，是二次函数． ２１．２．１二次函数ｙ＝ａｘ２的图象和性质 基础训练　１．Ａ；　２．Ｄ；　３．Ｃ； ４．－２，（－２，－８）或（２，－８）； ５．ａ１ ＞ａ２ ＞ａ３ ＞ａ４． ６．（１）因为抛物线ｙ＝ａｘ２经过点（１，３）， 所以ａ×１＝３，所以ａ＝３． （２）把ｘ＝３代入抛物线ｙ＝３ｘ２得ｙ＝３×３２＝２７． （３）答案不惟一，如抛物线的开口向上；坐标原点是 抛物线的顶点；当ｘ＞０时，ｙ随着ｘ的增大而增大；抛物线 的图象有最低点，当ｘ＝０时，ｙ有最小值，是ｙ＝０等