第1期 21.1二次函数21.2二次函数的图象和性质（答案见下期）-【数理报】2021-2022学年中考数学（沪科版）

书书书 二次函数是函数大家族中极为重要的成员，它的许 多性质在我们实际生活中有着广泛应用，因此同学们学 习时一定要深刻领会二次函数的概念，通过对问题情境 的分析确定二次函数的表达式，为运用二次函数及其性 质解决实际问题打下坚实的基础． 一、二次函数的概念 一般地，形如ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ，ｂ，ｃ是常数，ａ≠０） 的函数，叫做二次函数．其中，ｘ是自变量，ａ，ｂ，ｃ分别是 函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项． 注意： （１）二次函数就是说自变量ｘ的最高次数是２； （２）特别要注意ａ≠０这一个条件．若ａ＝０，表达式 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ中就不含有二次项，它就成了一次函数 ｙ＝ｂｘ＋ｃ； （３）当ｂ＝０，ｃ＝０时，ｙ＝ａｘ２是特殊的二次函数． 例１　下列各式中，ｙ是ｘ的二次函数的是 （　　） Ａ．ｙ＝３ｘ－１　　　　　　Ｂ．ｙ＝３ｘ２－３ｘ（ｘ＋１） Ｃ．ｙ＝３ｘ２＋ｘ－１ Ｄ．ｙ＝４ｘ２＋１ｘ 分析：根据二次函数的定义：形如ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ， ｂ，ｃ是常数，ａ≠０）的函数，叫做二次函数求解即可． 解：Ａ．ｙ＝３ｘ－１是一次函数，不符合题意； Ｂ．ｙ＝３ｘ２－３ｘ（ｘ＋１）＝－３ｘ是正比例函数，不符 合题意； Ｃ．ｙ＝３ｘ２＋ｘ－１是二次函数，符合题意； Ｄ．ｙ＝４ｘ２＋１ｘ的最高次数是２，但含有自变量的式 子包含分式，不是二次函数，不符合题意． 故选Ｃ． 二、建立二次函数模型 解有关二次函数的应用题，与一次函数应用题类 似，都是寻找等量关系，如总利润 ＝单件利润 ×数量， 长方形的面积 ＝长 ×宽等． 例２　学校准备建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另 外三边用周长为３０米的篱笆围成．已知墙长为１８米，设 花圃垂直于墙的一边长为ｘ米，花圃的面积为ｙ平方米， 写出ｙ与ｘ的函数表达式，并写出自变量ｘ的取值范围． 分析：利用矩形的面积公式，列出面积ｙ关于ｘ的函 数表达式，即可求解． 解：由题意，得ｙ＝ｘ（３０－２ｘ）＝－２ｘ２＋３０ｘ， 即ｙ与ｘ的函数表达式是ｙ＝－２ｘ２＋３０ｘ． 因为墙的长度为１８米， 所以０＜３０－２ｘ≤１８， 解得６≤ｘ＜１５， 即自变量ｘ的取值范围是６≤ｘ＜１５． 书书书 配方法是初中阶段重要的数学思想方法之一，它贯 穿于初中阶段整个代数部分，从代数式的变形到一元二 次方程的基本解法、再到二次函数性质的探究，配方法 在其中都起到了关键性的作用．下面我们以例题的形 式，向同学们展示配方法在解二次函数问题中的应用． 例１　已知Ａ（０，ｙ１），Ｂ（１，ｙ２），Ｃ（４，ｙ３）是抛物线ｙ ＝ｘ２－３ｘ上的三点，则ｙ１，ｙ２，ｙ３的大小关系为 （　　） Ａ．ｙ１ ＞ｙ２ ＞ｙ３　　　　Ｂ．ｙ３ ＞ｙ１ ＞ｙ２ Ｃ．ｙ３ ＞ｙ２ ＞ｙ１ Ｄ．ｙ２ ＞ｙ１ ＞ｙ３ 解析：由ｙ＝ｘ２－３ｘ＝（ｘ－３２） ２－９４，知抛物线 的对称轴为直线ｘ＝３２，开口向上，进而根据二次函数 图象的性质可知ｙ３ ＞ｙ１ ＞ｙ２．故选Ｂ． 例２　若实数ｘ，ｙ满足条件２ｘ２－６ｘ＋ｙ２＝０，则ｘ２ ＋ｙ２＋２ｘ的最大值是 （　　） Ａ．１４　　　Ｂ．１５　　　Ｃ．１６　　　Ｄ．不能确定 解析：由已知，得ｙ２＝－２ｘ２＋６ｘ，代入ｘ２＋ｙ２＋２ｘ 中，用配方法求得 －（ｘ－４）２＋１６．又因为ｙ２≥０，得出 相应的ｘ的取值范围，求出最大值即可．故选Ｂ． 由上面的例题不难看出，当题中给出的二次函数 表达式是一般式时，我们首先考虑将其用配方法转化 为顶点式．当然，配方法的应用不止于此，希望同学们 能多总结，做到活学实用． 书书书 一、ｙ＝ａｘ２（ａ≠０）的图象及性质 二次函数ｙ＝ａｘ２（ａ≠０）的图象是一条抛物线，它 的对称轴是ｙ轴，顶点是原点（０，０）． （１）用描点法作二次函数的图象：①列表；②描点； ③连线． （２）当ａ＞０和ａ＜０时，二次函数ｙ＝ａｘ２（ａ≠０） 的图象具有不同的性质，现总结如下： 二次项 系数 图象 开口 方向 对称 轴 顶点 坐标 增减性 ａ＞０ 向上 ｙ轴 （０，０）， 为最 低点 当ｘ＜０时，ｙ随ｘ的 增大而减小；当 ｘ＞ ０时，ｙ随ｘ的增大而 增大． ａ＜０ 向下 ｙ轴 （０，０）， 为最 高点 当ｘ＜０时，ｙ随ｘ的 增大而增大；当 ｘ＞ ０时，ｙ随ｘ的增大而 减小． 抛物线ｙ＝ａｘ２的开口大小与 ｜ａ｜的关系非常密 切，当｜ａ｜越大时，抛物线的开口越小；当｜ａ｜越小时， 抛物线的开口越大． 例１　若抛物线ｙ＝ａｘ２经过点Ｎ（－２，－８），则ａ 的值是 （　　） Ａ．－４　　　Ｂ．４　　　Ｃ．－２　　　Ｄ．２ 解析：将 Ｎ（－２，－８）代入ｙ＝ａｘ２，计算ａ的值即可． 答案：选Ｃ． 方法指导：用待定系数法求表达式时，函数图象上 点的坐标满足表达式，反之，满足表达式的坐标确定的 点一定在函数图象上． 二、ｙ