专题02 指对数函数为背景的函数模型-高中数学新教材变化解读

专题02指对数函数为背景的函数模型 [新教材的新增内容] 背景分析： 人教A版的第四章指数函数与对数函数，相对旧教材，单独增加了一节函数的应用（二），主要增加了以对数和指数函数为背景的函数应用问题，提高了位置，加大了函数在现实生活中的应用，加大培养学生的数学建模的学科素养. 1.（1）指数函数模型：f（x）=abx+c（a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1）； （2）对数函数模型：f（x）=mlogax+n（m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1）； 2.三种函数模型的性质 函数 性质 y=ax（a>1） y=logax （a>1） y=xn（n>0） 在（0，+∞）上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大，逐渐表现为与y轴平行 随x的增大，逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax [新增内容的考查分析] 1.以指数函数为背景的函数模型 （1）要先学会合理选择模型，指数函数模型是增长速度越来越快（底数大于1）的一类函数模型，与增长率､银行利率有关的问题都属于指数函数模型； （2）在解决指数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题. 【考法示例1】某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2018年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ） （参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30） A.2020年 B.2021年 C.2022年 D.2023年 [答案]C [解析]设第n（n∈N*）年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元. 根据题意得130（1+12%）n-1>200， 则lg[130（1+12%）n-1]>lg200， ∴lg130+（n-1）lg1.12>lg2+2， ∴2+lg1.3+（n-1）lg1.12>lg2+2， ∴0.11+（n-1）×0.05>0.30，解得n>， 又∵n∈N*，∴n≥5，∴该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2022年.故选C. 【考法示例2】