专题07 空间向量投影的应用-高中数学新教材变化解读

专题07空间向量投影的应用 [新教材的新增内容] 背景分析：空间向量数量积的几何意义体现空间向量具有鲜明的几何背景，空间图形的许多性质可以由空间向量的运算表示出来，投影向量的引入，为学生解决空间点､线､面的位置关系提供了一种全新的视角，为后面向量法解决立体几何问题提供了理论依据. 向量a的投影 1.如图（1），在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c=|a|cos<a，b>，向量c称为向量a在向量b上的投影向量.类似地，可以将向量a向直线l投影（如图（2））. 2.如图（3），向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量a在平面β上的投影向量.这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角. [新增内容的考查分析] 1.求投影的长度 【考法示例1】已知线段AB的长度为，与直线l的正方向的夹角为120°，则在l上的射影的长度为______. 【答案】 【解析】设与直线l的正方向一致的单位向量为，于是得在直线l的正方向的投影向量为，则， 所以在l上的射影的长度为.故答案为：. 2.求投影向量 【考法示例2】已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是____. 【答案】 【分析】设向量在向量上的投影向量是，由题意可得，求得实数的值，即可得解. 【解析】设向量在向量上的投影向量是， 由题意可得，即，解得， 因此，向量在向量上的投影向量是. 故答案为：. 3.求向量的投影 已知，则在上的投影为__________ 【答案】 【解析】因为，所以 设与的夹角为，所以根据空间向量的几何意义可得： 在上的投影为， 故答案为： [新增内容的针对训练] 1. 平面向量，，满足，，，，则下列说法一定正确的有（ ） A. 在上的投影向量为 B. 在上的投影向量为 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用投影向量公式判断AB；利用向量数量积公式判断CD. 【详解】A.在上的投影向量为，故A正确； B. 在上的投影向量是，因为向量未知，所以无法求得在上的投影向量，故B错误； C.，当时，，若，，不满足C，故C错误； D.，所以，正确，故D正确. 故选：AD 2. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是__