专题04 平面投影向量的应用-高中数学新教材变化解读

专题04 平面投影向量的应用 [新教材的新增内容] 背景分析:在旧教材中只是讲解了投影的概念，而新教材再次基础上增加了投影向量的概念与求解公式. 1.投影向量的概念:如图(1) 设是两个非零向量，，作如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. 如图（2），在平面内任取一点O，作.过点M作直线ON的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量. 2.投影向量计算公式: 当为锐角（如图（1））时，与方向相同，，所以； 当为直角（如图（2））时，，所以； 当为钝角（如图（3））时，与方向相反，所以，即. 当时，，所以； 当时，，所以 综上可知，对于任意的，都有. [新增内容的考查分析] 1.求投影向量(由投影向量与投影所在的向量共线，问题转化为求向量间的投影数量与投影所在向量方向上单位向量的积(注意向量间的投影向量与向量间投影的数量区别) 【考法示例1】 1. 已知||＝4，为单位向量，它们的夹角为，则向量在向量上的投影向量是_____；向量在向量上的投影向量是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】 向量在向量上的投影向量：与向量共线，即向量在向量上投影的数量乘以向量方向上的单位向量；同理，向量在向量上的投影向量亦如此；由向量的数量积的几何意义知：向量在向量上投影的数量为，向量在向量上投影的数量为，由此向量在向量上的投影向量为，向量在向量上的投影向量 【详解】由||＝4，为单位向量，它们的夹角为 根据向量的数量积公式, 有： 即向量在向量上的投影数量： 向量在向量上的投影数量： ∴向量在向量上的投影向量： 向量在向量上的投影向量： 故答案为：； 【点睛】本题考查了向量数量积的几何意义；由投影向量与投影所在的向量共线，问题转化为求向量间的投影数量与投影所在向量方向上单位向量的积(注意向量间的投影向量与向量间投影的数量区别) 【考法示例2】 2. 已知向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影向量与投影数量分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量投影数量的概念可求得在方向上的投影数量，设在方向上的投影向量为，根据向量数量积的几何意义可得出，求出实数的值，即可得出结论. 【详解】设在方向上的投影向量