4.1 指数（两课时）-2021-2022学年高一数学上学期同步精讲课件(人教A版2019必修第一册)

4.1 指数 4.1.1次方根与分数指数幂 情境导入 为了研究指数函数，我们需要把指数的范围拓展到全体实数. 初中已经学习过整数指数幂.在学习幂函数时，我们把正方形的边长关于面积的函数记作.像这样以分数为指数的幂，其意义是什么呢？下面从已知的平方根、立方根的意义展开研究. 情境导入 我们知道： 如果，那么叫做的平方根.例如，就是4的平方根. 如果，那么叫做的立方根.例如，就是8的立方根. 类似地，由于我们把叫做16的四次方根； 由于，2叫做32的五次方根. 探索新知 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且 当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. 例如，，. 当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示表示，负的次方根用符号表示表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成. 例如，，， 探索新知 负数没有偶次方根. 0的任何次方根都是0，记作 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数. 根据次方根的意义，可得： 例如， 探索新知 思考1：表示什么意思呢？一定成立吗？如果不一定成立，那么等于什么呢？ 可以得到： 当是奇数时，； 当是偶数时， 例析 例1.求下列各式的值： (1) (2) ; (3); (4). 解：(1) (2) (3) (4) 当是奇数时，； 当是偶数时， 探索新知 根据次方根的定义和数的运算，试着思考： 思考2： 这就是说，当根式的被开方数（看成幂的形式）的指数能被根指数整除时，根式 可以表示为分数指数幂的形式. 探索新知 思考3：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以表示为分数指数幂的形式？ 把根式表示为分数指数幂的形式时，例如，把，等写成下列形式： 我们希望整数指数幂的性质，如对分数指数幂仍然适用. 由此，我们规定，正数的正分数指数幂的意义是 . 于是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式. 探索新知 正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定， . 例如，，. 与0的整数指数幂的意义相仿，我们规定， 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 规定了分数指数幂的意义后，幂中指数的取值范围就从整数拓展到了有理数. 探索新知 整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数均有下面的运