第10讲 函数中的恒成立问题（知识与技能）-2022年高考数学函数与导数（知识、技能、题型训练）重点突破

第10讲 函数中的恒成立问题 一般地，已知函数 ， （1）若 ， ，总有 成立，故 ； （2）若 ， ，有 成立，故 ； （3）若 ， ，有 成立，故 ； （4）若 ， ，有 成立，故 ； （5）若 ， ，有 ，则 的值域是 值域的子集 ． 考向一：二次函数中的恒成立问题 求解与二次函数有关的不等式恒成立问题，其本质是最值问题，往往先对已知条件进行化简，转化为下面两种情况： 1. >0， 恒成立的充要条件是 。 2. 恒成立的充要条件是 。 例题：（2022·上海）设 ，若不等式 恒成立，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路分析】 【详解】令 ，根据题意得 恒成立，即 成立，因为函数 的对称轴为 ，所以函数的最小值 ，解得 .故选：B. 考向二：与指数型函数有关的恒成立问题的解法 与指数型函数有关的恒成立问题，通常采取转化与划归的思想： 1.当 时， 恒成立 EMBED Equation.KSEE3 恒成立 EMBED Equation.KSEE3 恒成立 EMBED Equation.KSEE3 ，再构造函数 ，求出 的最小值即可。 2.当 时， 恒成立 EMBED Equation.KSEE3 恒成立 EMBED Equation.KSEE3 恒成立 EMBED Equation.KSEE3 ，求得相应函数的最大值即可。 例题：已知x∈(0，＋∞)时，不等式9x－m·3x＋m＋1>0恒成立，则m的取值范围是（ ） A．2－2 <m<2＋2 B．m<2 C．m<2＋2 D．m≥2＋2 【答案】C 【思路分析】 【详解】令t＝3x(t>1)，则由已知得函数f(t)＝t2－mt＋m＋1的图象在t∈(1，＋∞)上恒在x轴的上方， 则对于方程f(t)＝0，有 或 ,解得 或 ，所以m<2＋2 .故选：C 考向三：与对数型函数有关的恒成立问题的解法 与对数型函数有关的恒成立问题多与其定义域和值域有关。对于函数 ，若定义域为R，则 在R上恒成立；若函数 的值域为R，则函数 能取遍所有正实数。 例题：（2021·河南中原·郑州外国语中学高三月考（理））若不等式 恒成立，则实数 的范围是（ ） A． B． C． D． . 【答案】D 【思路分析】 【详解】题设不等式化为 ，即 ， ， ，易知 是减函数， 时， ，所以由不