第10讲 函数中的恒成立问题（题型训练）-2022年高考数学函数与导数（知识、技能、题型训练）重点突破

第10讲 函数中的恒成立问题题型训练 题型训练一·二次函数中的恒成立问题 1．（2021·四川金牛·成都外国语学校高二开学考试（文））已知，恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解：设，对任意恒成立，即对任意，都成立， ①当，即时，，则，即，与讨论矛盾， ②当，即时，，解得或，，， 实数的取值范围为，．故选：C． 2．（2021·沈阳市第十中学高一月考）若，不等式恒成立，则a的取值范围是（ ） A． B． C．{a|a＞1} D． 【答案】D 【分析】由于，不等式恒成立，所以，恒成立，即 恒成立，令，显然在 上单调递减， 所以实数a的取值范围是，故选：D 3．（2021·江西上高二中高二月考（文））已知二次函数满足，若在区间上恒成立，则实数的范围是（ ） A．m<-5 B．m>-5 C．m<11 D．m>11 【答案】A 【分析】令，则，所以，则，因为在区间上恒成立，所以在区间上恒成立，令，所以，所以，故选：A 4．（2021·江苏如皋）不等式的解集为，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】因为不等式的解集为，∴不等式恒成立 ①当m+1=0，即m=时，不等式化为≥0，解得x≥2，不是对任意x∈R恒成立，舍去；②当m+1≠0，即m≠时，对任意x∈R要使，只需m+1>0且，解得.综上，实数m的取值范围是.故选：B. 5．设函数，若对于，恒成立，则实数的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，可得，即，当时，，所以在上恒成立，只需，当时有最小值为1，则有最大值为3，则，实数的取值范围是，故选：A 6．当，恒成立，则的范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得,令,当，单调递增, 当，单调递减,∴,∴要使:当，恒成立，则需,∴的范围为,故选:A. 题型训练二·指数函数、对数函数中的恒成立问题 7．（2022·全国）已知函数，满足对任意x1≠x2，都有0成立，则a的取值范围是（　　） A．a∈(0,1) B．a∈[,1) C．a∈(0,] D．a∈[,2) 【答案】C 【分析】∵满足对任意x1≠x2，都有0成立，∴在R上是减函数， ∴，解得，∴a的取值范围是．故选：C． 8．（2020·天津南开中学高三）已知函数，满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可得：函数在定义域内为减函数，当时，为减函数，则；当时，根据指数函数的性质可知，为减函数，若在R上为减函数，还需要，解得：，综上可得，的取值范围为，故选：D。 9．设，如果 恒成立，那么（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，，则，当时，，当时，，而当时，，于是当时，，即恒成立，又函数在上单调递增，于是得，即当时，取最小值1，而， 恒成立，则，所以.故选：D 10．（2021·山东新泰市第一中学高三月考）已知函数关于直线对称，对任意实数恒成立，且当时，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为函数关于直线对称，所以关于轴对称，所以为偶函数，又，所以，所以是周期为的周期函数，所以故选：B 11．设是定义域为的偶函数，若，都有，则大小关系正确的为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为若，都有，所以在上单调递增；因为是定义域为的偶函数，所以， 因为，所以，而在上单调递增，所以， 故，即。故选：D. 12．（2021·吉林高三三模（文））对于恒成立，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题得恒成立，因为函数互为反函数，所以原命题等价于恒成立，即恒成立，令，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以.所以.故选：D 题型训练三·利用函数基本性质解决恒成立问题 13．（2021·四川金牛·成都外国语学校高三月考（理））设是定义在上的可导函数，且满足，对任意的正数，下面不等式恒成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，则，因为，所以，故，因此在上单调递增，所以对于任意的正数，有，即，即，又因为，所以，结合选项可知B正确，故选：B 14．（2021·全国高三月考（理））已知定义在上的函数满足：对任意恒成立，其中为的导函数，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，则，因为对任意，所以在上恒成立，所以在上单调递增，又等价于，即，因为在上单调递增，所以解得，所以原不等式的解集是.故选：D. 15．（2021·河北·天津二中高三月考）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（ ） A． B