第08讲 函数与导数中的极值与最值问题（知识与技能）-2022年高考数学函数与导数（知识、技能、题型训练）重点突破

第8讲 函数与导数中的极值与最值问题 考向一：极值的概念 一般地，设函数 在点 及其附近有定义， （1）若对于 附近的所有点，都有 ，则 是函数 的一个极大值，记作 ； （2）若对 附近的所有点，都有 ，则 是函数 的一个极小值，记作 . 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. 例题：（2022·江苏）下列关于函数 的结论中，正确结论的个数是（ ） A． 是极大值， 是极小值； B． 没有最大值，也没有最小值； C． 有最大值，没有最小值； D． 有最小值，没有最大值. 【答案】C 【思路分析】 【详解】由 ，得 ，令 ，则 ，解得 或 ，当 或 时， ，当 时， ，所以 是极小值， 是极大值，所以A错误；因为 是极小值，且当 时， 恒成立，而 是极大值,也是最大值，所以 有最大值，没有最小值，所以C正确，BD错误.故选：C 考向二：极值的求解步骤 ①确定函数的定义域； ②求导数 ； ③求方程 的根； ④检查 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法) 例题：（2021·贵州遵义一中高三月考（理））已知函数 在 处取得极值，则函数 的极小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路分析】 【详解】因为 ，该函数的定义域为 ，所以， ， 由已知条件可得 ，解得 ， 所以， ，则 ， 列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数 的极小值为 .故选：B. 例题：（2021·河南高三月考（文））函数 的极大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路分析】 【详解】由 可得 ，由 可得： 或 ，由 可得 ，所以 在 单调递增，在 单调递减，在 单调递增，所以 时， 取得极大值为 ，故选：B. 考向三：函数的最大值与最小值 若函数 在闭区间 上连续，则 在 上必有最大值和最小值；在开区间 内连续的函数 不一定有最大值与最小值.如 . ①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。 ②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。 例题：（2021·山西迎泽·太原五中高三月考（理））若函数 ，则 在 上的最大值与最小值之和为（ ） A． B．