第08讲 函数与导数中的极值与最值问题（题型训练）-2022年高考数学函数与导数（知识、技能、题型训练）重点突破

第8讲 函数与导数中的极值与最值问题题型训练 题型训练一·函数的极值问题（选择） 1．（2021·安徽金安·六安一中高三月考（理））函数在区间存在极值点的一个充分不必要条件为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，，在区间存在极值点，即在区间存在变号零点，由于二次函数对称轴为 （1）当即时，在区间单调递增，故，不成立； （2）当即时，在区间单调递减，故，不成立； （3）当即时，要保证在区间存在变号零点 或 故在区间存在极值点的等价条件为，若选项中的一个为其充分不必要条件，则所在的范围为的真子集故选：D。 2．（2021·河南高三月考（文））已知函数（，）存在极大值和极小值，且极大值与极小值互为相反数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】。设是方程的两个实数根，根据题意可知 ，不妨设，则，且 ，即 ，化简得： 将代入化简计算得，， ，选项B正确，选项ACD错误。故选：B. 3．（2021·贵州省思南中学高三月考（理））在区间内随机取两个数分别记为，，则使得函数有极值点的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由求导得：，因函数有极值点，于是得方程有两个不等实根，即，满足的点表示以原点为圆心，为半径的圆外，而，则点表示以原点为中心，各边垂直于坐标轴，边长为的正方形及内部，如图， ，为区间内任意两个数的试验的所有结果构成区域是边长为的正方形，面积为， 函数有极值点的事件为A，事件A所对区域是图中阴影区域，其面积为，于是得，所以函数有极值点的概率为.故选：B 4．（2021·浙江高三开学考试）记，，若2是函数的一个极小值点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解：，所以，又因为2是函数的一个极小值点，所以且在左侧为负，右侧为正，由得，得， 所以有两个根且在2的两侧,所以，故选：D. 5．（2021·南岗·黑龙江实验中学高三月考）已知函数，下列判断正确的是（ ） A．函数的单调递减区间为 B．是函数的极大值点 C．函数有且只有一个零点 D．函数在其定义域内单调递增 【答案】C 【分析】显然定义域为，，当时，当时，则函数的递减区间为，是函数的极小值点，A，B都不正确； ，，于是得函数在上单调递减，D不正确，而，即，使，从而得函数有且只有一个零点，C正确.故选：C 6．（2021·广西高三模拟预测（理））若函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解：依题意，有两个变号零点，令，即，则，显然，则，设，则， 设，则，∴在上单调递减，又，∴当时，，，单调递增，当时，，，单调递减，∴，且时，，时，，∴，解得．故选：B． 题型训练二·函数的最值问题（选择） 7．（2021·全国高三月考（文））若函数的最小值为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意知：，的最小值为，是的一个极值点，，解得：，；若，当时，，不符合题意．若，则，当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增，是的最小值，满足题意；若，令，解得：或；当或时，；当时，； 在，上单调递减，在上单调递增，又，当时，； 是的最小值，满足题意；综上所述：，.故选：D. 8．（2021·沙坪坝·重庆南开中学高三月考）动直线（）与函数，的图象分别交于点A，B，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则，当时，，当，，所以在上递减，在上递增，所以当时取得最小值，所以的最小值为，故选：A 9．（2021·黑龙江道里·哈尔滨三中高三月考（文））定义域为的函数满足，且当时，，则当时，的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】，，， ，，依题意，且当时，，所以，故当时，取得最小值.故选：C 10．（2021·黑龙江让胡路·大庆中学高三开学考试（文））若对任意的正实数，不等式恒成立，则实数的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由不等式对于任意的恒成立，即 对于任意的恒成立，令，则，则，当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以，所以实数的最大值是，故选：C. 11．（2021·中央民族大学附属中学高三）已知函数；现给出如下结论：①是奇函数；②是周期函数；③在区间上有三个零点；④的最大值为2.其中所有正确结论的编号为（ ） A．①③ B．①②③ C．②④ D．①④ 【答案】A 【分析】原函数定义域为R，显然有函数，是奇函数，①正确；假定是周期函数，周期为T，则， ，使得，，则， 使得，，则，，，矛盾，即②不正确；，即，，，则或，解得或，因，，即在区间上有三个零点，③正确；因时取最大值1，时取最大值1，的最大值和的最大值不