第7期3.4.1相似三角形的判定（答案见下期）-【数理报】2021-2022学年中考数学（湘教版）

书书书 在近几年的各种考试中，网格中的格点三角形（顶 点在网格交点处）相似问题频频出现．这些试题，将相似 三角形的基础知识的考查寓于新颖的情境之中，既开拓 了同学们的视野，又考查了同学们知识的迁移、类比能 力，对培养同学们的创新意识和创新能力有很好的导向 作用．以下几例供同学们参考． 一、确定相似比 例１　图１是一个边长为１的 正方 形 组 成 的 网 格，△ＡＢＣ与 △Ａ１Ｂ１Ｃ１都是格点三角形，并且 △ＡＢＣ∽ △Ａ１Ｂ１Ｃ１，则 △ＡＢＣ与 △Ａ１Ｂ１Ｃ１的相似比是 ． 解析：由勾股定理，得 Ｂ１Ｃ１ ＝ 槡５，Ａ１Ｂ１＝２，ＡＣ＝槡２，ＡＢ＝ 槡２２，由△ＡＢＣ∽△Ａ１Ｂ１Ｃ１ 可知，△ＡＢＣ与△Ａ１Ｂ１Ｃ１的相似比 ＝ＡＣ∶Ａ１Ｃ１ ＝ＡＢ∶ Ａ１Ｂ１ ＝槡２∶１． 故填槡２∶１． 二、识别相似三角形 例２　下列四个三角形中，与图２中的三角形相似 的是 （　　） 解析：观察图２，发现难以从三角形的内角入手，但 可以求边长． 设网格中小正方形的边长为１，则图２中三角形的 边长分别为：槡２，槡２２，槡１０． 选项Ａ中三角形的边长分别为：２，槡１０，槡３２； 选项Ｂ中三角形的边长分别为：２，４，槡２５； 选项Ｃ中三角形的边长分别为：２，３，槡１３； 选项Ｄ中三角形的边长分别为：槡５，槡１３，４． 因为槡 ２ ２ ＝ 槡２２ ４ ＝ 槡１０ 槡２５ ， 所以选项Ｂ中的三角形与图２中的三角形相似． 故选Ｂ． 三、相似三角形的作图 例３　如图３，在已建立直角 坐标系的４×４正方形方格纸中， △ＡＢＣ是格点三角形，若以格点 Ｐ，Ａ，Ｂ为顶点的三角形与 △ＡＢＣ 相似（全等除外），则格点Ｐ的坐标是 ． 解析：由题意知在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＣＡＢ＝９０°，ＣＡ∶ ＡＢ＝１∶２． 若格点△ＰＡＢ与△ＡＢＣ相似（全等除外），由正方 形网格的特殊性，只存在∠ＰＡＢ＝９０°或∠ＰＢＡ＝９０° 两种情况： （１）当 ∠ＰＡＢ ＝９０°，△ＰＡＢ与 △ＡＢＣ相似时， ＰＡ∶ＡＢ＝２∶１，即ＰＡ∶２＝２∶１， 所以ＰＡ＝４， 所以点Ｐ（１，４）， （２）当 ∠ＰＢＡ＝９０°，△ＰＡＢ与 △ＡＢＣ相似时，有 ＰＢ∶ＡＢ＝２∶１，即ＰＢ∶２＝２∶１， 所以ＰＢ＝４， 所以点Ｐ（３，４）． 所以点Ｐ的坐标是（１，４）或（３，４）． 故填（１，４）或（３，４）． 书书书 三、１５．因为 ＡＣ＝ ３，ＢＣ ＝ ４，∠ＡＣＢ ＝ ９０°，由勾股定理得 ＡＢ ＝５．因为 Ｒｔ△ＡＢＣ∽ Ｒｔ△ＡＣＤ，所以 ＡＢＡＣ ＝ ＡＣ ＡＤ，即 ５ ３ ＝ ３ ＡＤ，解得 ＡＤ＝９５，所以ＡＤ的长 为 ９ ５． １６．（１）ＣＥ的长为 ８ ３． （２）ＡＢ的长为２５３． １７．设ＡＤ＝ｘ，因为 四边形 ＡＢＥＦ是正方 形，ＡＢ＝１，所以ＦＤ＝ｘ －１，ＦＥ＝１．因为四边 形 ＥＦＤＣ与矩形 ＡＢＣＤ 相似，所以 ＥＦ ＥＣ＝ ＡＤ ＡＢ，即 １ ｘ－１＝ ｘ １，解得 ｘ１ ＝ １＋槡５ ２ ，ｘ２ ＝ １－槡５ ２ （舍 去）．经检验ｘ＝１＋槡５２ 是原方程的解且符合题 意，所以ＡＤ＝１＋槡５２ ． １８．（１）因为ＡＤＤＢ＝ ＡＥ ＥＣ，所以 ＡＤ＋ＤＢ ＤＢ ＝ ＡＥ＋ＥＣ ＥＣ ，所以 ＡＢ ＤＢ ＝ ＡＣ ＥＣ． （２）因为 ＡＣ＝３， ＥＣ＝１，所以 ＡＥ＝ＡＣ －ＥＣ＝２，所以ＡＤＤＢ＝ ＡＥ ＥＣ＝２，所以 Ｓ△ＡＣＤ Ｓ△ＢＣＤ ＝ ＡＤ ＤＢ＝２，所以 Ｓ△ＡＣＤ ＝ ２Ｓ△ＢＣＤ．因为 Ｓ△ＡＢＣ ＝ Ｓ△ＡＣＤ ＋ Ｓ△ＢＣＤ ＝ ３Ｓ△ＢＣＤ，所以 Ｓ△ＡＢＣ Ｓ△ＢＣＤ ＝３． １９．（１）四 边 形 ＥＦＧＨ与四边形 ＡＢＣＤ 相似．理由如下： 因为点Ｅ，Ｆ是ＯＡ， ＯＢ的中点，所以ＥＦＡＢ＝ １ ２，∠１＝∠２．又因为 书书书 一、条件开放题 例１　如图１，∠１＝∠２， 添加一个条件使得△ＡＤＥ∽ △ＡＣＢ： ． 解析：由 ∠１＝∠２，得 ∠１ ＋ ∠ＢＡＥ ＝ ∠２ ＋ ∠ＢＡＥ，即∠ＤＡＥ＝∠ＢＡＣ． 两个三角形已有一组角对应 相等，只要再添一组角对应 相等即可，如 ∠Ｄ＝∠Ｃ或 ∠Ｅ＝∠Ｂ；也可以添加夹边 对应成比例，如 ＡＤ ＡＣ＝ ＡＥ ＡＢ． 故填∠Ｄ＝∠Ｃ或ＡＤＡＣ＝ ＡＥ ＡＢ（答案不惟一，填一个正 确的即可）． 二、结论开放题 例２　如图２，在平面直角坐标系中，点 Ａ（０，２）， Ｂ（４，４），Ｃ（１，０），Ｄ（９，４），Ｅ（５，０），Ｆ（１１，２）． （１）判断由点Ａ，Ｂ，Ｃ构成的三角形ＡＢＣ与由点Ｄ， Ｅ，Ｆ构成的三角形ＤＥＦ是否相似，并说明理由； （２）若点 Ｐ１（８，３），Ｐ２（７，２），Ｐ３（６，１），Ｐ４（８，１）， Ｐ５（１０，３），则在点Ｐ１，Ｐ２，Ｐ３，Ｐ４，Ｐ５，Ｄ，Ｆ这７个点中选 取３个点作为三角