专题3 数列的综合问题-学会解题之高三数学321训练体系【2022版】

第六章 数列 专题3 数列的综合问题 【三年高考精选】 1.（2021年全国高考乙卷）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列． （1）求和的通项公式； （2）记和分别为和的前n项和．证明：． 【答案】（1），；（2）证明见解析. 【分析】因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列， 所以，所以， 即，解得，所以， 所以. （2）证明：由（1）可得， ，① ，② ①②得 ， 所以， 所以， 所以. 【三年高考刨析】 试题来源 考查考点 数学素养 解题关键 2021年全国高考乙卷 等差数列、等比数列的性质，裂项相消法求和，不等式的证明 数学运算、逻辑推理 掌握等差数列、等比数列的性质，裂项相消法求和的方法 命题 规律 总结 数列的综合问题会在选择题、填空题以及解答题中出现，难度中等. 【2022年高考预测】 预测2022年高考会考查数列的与不等式结合的综合问题． 【2022年复习指引】 由前三年的高考命题形式，复习等差数列、等比数列的综合问题应注意以下几点： 1．熟练把握等差数列与等比数列的基本运算． 2．高考对数列的考查呈现出综合性强、立意新、难度大的特点，注重在知识交汇点处设计试题，如常常与函数、方程、不等式、三角变换、解析几何、导数、推理与证明等内容有机地结合在一起，既重视对数列的基础知识的考查，又突出对数学思想方法和数学能力的考查． 3．掌握隐藏在数列概念和解题方法中的数学思想，如“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转化”等． 【2022年考点定位】 考点1 等差数列、等比数列的综合 【例1】（黑龙江省大庆第一中学2021届高三第三次模拟）在各项不为零的等差数列中，，数列是等比数列，且，则的值为（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【解析】 【分析】 根据等差数列的性质可知，代入方程可求出，再根据等比数列的性质 即可代入求解. 【详解】 因为等差数列中，所以， 因为各项不为零，所以， 因为数列是等比数列，所以 所以，故选C. 【规律方法技巧】等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前n项和；分析等差、等比数列项之间的关系．往往用到转化与化归的思想方法． 【考点针对训练】（贵州省遵义航天高级中学2020届高三（最后一卷)）已知等比数列中，若，且成等差数列，则（ ） A．2 B．2或32 C．2或-32 D．-1 【答案】B 【解析】 【分析】 根据等差数列与等比数列的通项公式及性质，列出方程可得q的值，可得的值. 【详解】 解：设等比数列的公比为q（）， 成等差数列， ，， ，解得：， ，， 故选B. 考点2 数列与函数 【例2】（河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三压轴）已知函数有两个不同的零点，，-2和，三个数适当排序后既可成为等差数列，也可成为等比数列，则函数的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 由函数零点的定义和韦达定理，得，再由和，三个数适当排序后既可成为等差数列，也可成为等比数列，得，，解得，，进而可求解得值，得出函数的解析式． 【详解】 由题意，函数有两个不同的零点，， 可得，则，， 又由和，三个数适当排序后既可成为等差数列，也可成为等比数列， 不妨设，则，，解得，， 所以，，所以， 故选C. 【规律方法技巧】此类问题常常以函数的解析式为载体，转化为数列问题，常用的数学思想方法有“函数与方程”“等价转化”等． 【考点针对训练】（2020上海市建平中学高三月考）已知数列满足，若存在实数，使单调递增，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由单调递增，可得恒成立，则，分析和可排除错误选项. 【详解】 由单调递增，可得， 由，可得，所以. 时，可得.① 时，可得，即.② 若，②式不成立，不合题意； 若，②式等价为，与①式矛盾，不合题意. 排除B,C,D,故选A. 考点3 数列与不等式 【例3】（2020山西重点中学协作体高三暑期联考）已知数列的各项排成如图所示的三角形数阵，数阵中每一行的第一个数构成等差数列，是的前项和，且，. (1)若数阵中从第3行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列，且公比相等，已知，求的值； (2)设，当时，对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）160；（2）或. 【解析】 试题分析：（I）由等差数列{bn}满足b1=a1=1，S5=15．求出数列的公差后，可得数列的通项公式，结合数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列，且公比相等，a9=16，可求出公比，进而求出a50的值； （Ⅱ）由（1）求出Sn的表达式，利用裂项相消法求出Tn的表达式，进而将不等式恒成