13.3 第1课时 等腰三角形-2021-2022学年八年级数学上册同步讲与练(人教版)

13.3 等腰三角形 第1课时 等腰三角形 知识要点 一、等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 　　 要点：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . 等腰三角形的周长为，腰长为a，底长为b，则腰长a的取值范围是 ，底长b的取值范围是是。 二.等腰三角形的性质 性质1: 等腰三角形的两个底角相等. (等边对等角) ∵ AB=AC ∴ ∠B=∠C 性质2: 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合. (三线合一) （1）∵AB=AC，∠1=∠2 ∴AD⊥BC，BD=CD （2）∵AB=AC，AD⊥BC ∴∠1=∠2，BD=CD （3）∵AB=AC，BD=CD ∴∠1=∠2，AD⊥BC 三．等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）。 ∵∠B=∠C（已知） ∴AB=AC（等角对等边） ∴△ABC是等腰三角形 知识点1：等腰三角形的性质 题型一：等腰三角形边与角计算中的分类讨论思想 【例1】若等腰三角形底角为72°，则顶角为（　　） 【解析】根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，可以计算其顶角的度数． 解：∵等腰三角形底角为72° ∴顶角=180°﹣（72°×2）=36° 【例2】等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为 。 【分析】有两种情况（顶角是50°和底角是50°时），由等边对等角求出底角的度数，用三角形的内角和定理即可求出顶角的度数． 【解析】解：如图所示， △ABC中，AB＝AC． 有两种情况： ①顶角∠A＝50°； ②当底角是50°时， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝50°， ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴∠A＝180°−50°−50°＝80°， ∴这个等腰三角形的顶角为50°或80°． 故答案为：50°或80°． 点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理的理解和掌握，能对有的问题正确地进行分类讨论是解答此题的关键． 【举一反三】 1.等腰三角形的一个外角为100°，则它的一个底角度数是 。 【分析】已知给出了一个外角是100°，没有明确是顶角还是底角的外角，所以要进行分类讨论，分类后还有用内角和定理去验证每种情况是不是都成立． 【解析】解：根据等腰三角形的一个外角为100°，则与它相邻的内角是80°， 当80°是底角时，其底角是80°；当80°是顶角时，（180°−80°）÷2＝50°． 所以该三角形的底角是50°或80°． 故填50或80． 2.在△ABC中，AB=AC,有一个角为300 ，另两个角度分别是 　 【分析】分80°的角是顶角和底角两种情况讨论求解． 【解析】解：①80°的角是顶角时，另两个角相等，为12（180°−80°）＝50°， ②80°的角是底角时，还有一个底角为80°， 顶角＝180°−80°−80°＝20°， 所以，另两个角为80°、20°， 综上所述，另两个角度数分别是50°、50°或80°、20°． 故答案为：50°、50°或80°、20°． 【例3】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（　　） A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120° 【解析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论． 解：当高在三角形内部时（如图1），顶角是60°； 当高在三角形外部时（如图2），顶角是120°． 故选D． 【举一反三】 1.若等腰三角形一腰上的高与三角形的另一边成600 的角，则这个等腰三角形的顶角的度数为 【分析】首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为45°．另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数为135°． 【解析】解：①如图，等腰三角形为锐角三角形， ∵BD⊥AC，∠ABD＝45°， ∴∠A＝45°， 即顶角的度数为45°． ②如图，等腰三角形为钝角三角形， ∵BD⊥AC，∠DBA＝45°， ∴∠BAD＝45°， ∴∠BAC＝135°． 故答案为45°或135°． 2.在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相