第2期 1.2怎样判定三角形全等(AAS,sss) 1.3尺规作图（答案见第4期）-【数理报】2021-2022学年上学期八年级上册初二数学（青岛版）

书书书 “三角形全等的判定”是本章的重点内容，现将探 索三角形全等的思路归纳如下： 一、已知两边对应相等 策略１：依据“ＳＡＳ”，找已知两边的夹角对应相等 例１　如图１，已知 ＡＢ＝ＡＤ，ＡＣ＝ＡＥ，∠ＢＡＤ＝ ∠ＣＡＥ，则ＢＣ＝ＤＥ．为什么？ 解析：欲求ＢＣ＝ＤＥ，应探索△ＡＢＣ≌△ＡＤＥ．由于 已有ＡＢ＝ＡＤ，ＡＣ＝ＡＥ，还差一个条件．考虑到∠ＢＡＤ ＝∠ＣＡＥ，则有∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ．依据“ＳＡＳ”有 △ＡＢＣ ≌△ＡＤＥ，所以ＢＣ＝ＤＥ． 策略２：依据“ＳＳＳ”，找第三边对应相等 例２　（２０２０东莞期中）如图２，点Ｃ是ＡＢ的中点， ＡＤ＝ＣＥ，ＣＤ＝ＢＥ，试说明：△ＡＣＤ≌△ＣＢＥ． 解析：在△ＡＣＤ与△ＣＢＥ中，已经给出了两边相等： ＡＤ＝ＣＥ，ＣＤ＝ＢＥ，要说明三角形全等还缺少一个条 件．考虑到点Ｃ是ＡＢ的中点，则有ＡＣ＝ＢＣ．依据“ＳＳＳ” 即可说明△ＡＣＤ≌△ＣＢＥ． 二、已知两角对应相等 策略１：依据“ＡＳＡ”，找已知两角的夹边对应相等 例３　如图３，已知∠ＣＡＤ＝ ∠ＤＢＣ，∠ＣＡＢ＝∠ＤＢＡ，那么ＣＢ 与ＤＡ相等吗？请说明理由． 解析：ＣＢ＝ＤＡ．在 △ＡＣＢ和 △ＢＤＡ中，说明全等的条件已有 ∠ＣＡＢ＝∠ＤＢＡ，而 ∠ＣＡＤ ＝∠ＤＢＣ，则 ∠ＤＡＢ ＝ ∠ＣＢＡ，此时，考虑到ＡＢ＝ＢＡ，依据“ＡＳＡ”则有△ＡＣＢ ≌△ＢＤＡ，所以ＣＢ＝ＤＡ． 策略２：依据“ＡＡＳ”，找已知一角的对边相等 例４　如图４，若 ∠１＝∠２，∠Ｃ＝∠Ｄ，则 ＡＣ＝ ＡＤ．为什么？ 解析：要得出ＡＣ＝ＡＤ，只 需探索 △ＡＢＣ≌ △ＡＢＤ，全等 的条件已有∠１＝∠２，∠Ｃ＝ ∠Ｄ，于是，想到找一条边，而图 中有隐含条件 ＡＢ ＝ＡＢ．由 “ＡＡＳ”有△ＡＢＣ≌△ＡＢＤ，从而得到结论． 三、已知一边、一角对应相等 策略１：依据“ＳＡＳ”，找已知角的另一邻边对应相等 例５　如图５，在△ＡＢＣ和△ＡＢＤ中，ＢＣ＝ＢＤ，设 点Ｅ是ＢＣ的中点，点 Ｆ是 ＢＤ的中点，连接 ＡＥ，ＡＦ．若 ∠ＡＢＣ＝∠ＡＢＤ，请说明△ＡＢＥ≌△ＡＢＦ的理由． 解析：由于ＢＣ＝ＢＤ，点Ｅ是ＢＣ的中点，点Ｆ是ＢＤ 的中点，则ＢＥ＝ＢＦ．而∠ＡＢＣ＝∠ＡＢＤ，对照全等的条 件，还差一个．又因为图中有隐含条件 ＡＢ＝ＡＢ，依据 “ＳＡＳ”则有△ＡＢＥ≌△ＡＢＦ，从而得到结论． 策略２：依据“ＡＳＡ”，找已知边的另一邻角对应相等 策略３：依据“ＡＡＳ”，找已知边的对角对应相等 例６　如图６，已知ＡＢ⊥ＣＦ，ＤＥ⊥ＣＦ，垂足分别为 点Ｂ，Ｅ，ＡＢ＝ＤＥ．请添加一个适当条件 ，使 △ＡＢＣ≌△ＤＥＦ，并说明理由． 解析：要使 △ＡＢＣ≌ △ＤＥＦ，已经具备的条件是 ∠ＡＢＣ＝∠ＤＥＦ＝９０°，ＡＢ＝ＤＥ，需再添加一个角或一 条边．当填ＢＣ＝ＥＦ（或ＣＥ＝ＢＦ）时，可根据“ＳＡＳ”说 明△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ；当填∠Ａ＝∠Ｄ时，可根据“ＡＳＡ” 说明全等；当填∠Ｃ＝∠Ｆ时，可根据“ＡＡＳ”说明全等． 书书书 上期２版 １．１全等三角形 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｃ；　３．Ａ；　４．９５°． ５．因为 △ＡＢＣ≌ △ＤＥＦ，所以 ＢＣ＝ＥＦ，Ｓ△ＡＢＣ ＝ Ｓ△ＤＥＦ．因为ＡＭ，ＤＮ分别是△ＡＢＣ，△ＤＥＦ的对应边上的 高，所以 １ ２ＢＣ·ＡＭ ＝ １ ２ＥＦ·ＤＮ．所以ＡＭ ＝ＤＮ． ６．（１）因为△ＡＢＣ≌△ＤＡＥ，所以ＢＣ＝ＡＥ，ＡＣ＝ ＤＥ．所以ＢＣ＝ＡＥ＝ＡＣ＋ＣＥ＝ＤＥ＋ＣＥ． （２）因为ＢＣ∥ＤＥ，所以∠ＢＣＥ＝∠Ｅ．因为△ＡＢＣ ≌△ＤＡＥ，所以∠ＡＣＢ＝∠Ｅ．所以∠ＡＣＢ＝∠ＢＣＥ．因 为∠ＡＣＢ＋∠ＢＣＥ＝１８０°，所以 ∠ＡＣＢ＝９０°，即当 △ＡＢＣ中∠ＡＣＢ为直角时，ＢＣ∥ＤＥ． 能力提高　７．Ａ． １．２怎样判定三角形全等 １．２．１边角边（ＳＡＳ） 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｂ；　３．ＡＢ＝ＡＣ；　４．７０． ５．因为ＡＢ∥ＤＥ，所以∠Ａ＝∠Ｄ．因为ＡＦ＝ＤＣ， 所以ＡＦ－ＣＦ＝ＤＣ－ＣＦ，即 ＡＣ＝ＤＦ．在 △ＡＢＣ和 △ＤＥＦ中，因为 ＡＣ＝ＤＦ，∠Ａ＝∠Ｄ，ＡＢ＝ＤＥ，所以 △ＡＢＣ≌△ＤＥＦ（ＳＡＳ）． ６．ＢＭ ＝ＢＮ，ＢＭ⊥ＢＮ．理由是： 在△ＡＢＥ和 △ＤＢＣ中，因为 ＡＢ＝ＤＢ，∠ＡＢＥ＝ ∠ＤＢＣ，ＥＢ＝ＣＢ，所以 △ＡＢＥ≌ △ＤＢＣ（ＳＡＳ）．所以 ∠ＢＡＥ＝∠ＢＤＣ，ＡＥ＝ＤＣ．因为Ｍ，Ｎ分别是ＡＥ，ＣＤ的 中点，所以ＡＭ＝ＤＮ．在△ＡＢＭ和△ＤＢＮ中，因为ＡＢ＝ ＤＢ，∠ＢＡＭ ＝ ∠ＢＤＮ，ＡＭ ＝ ＤＮ，所 以 △ＡＢＭ ≌ △ＤＢＮ（ＳＡＳ）．所以 ＢＭ ＝ＢＮ，∠ＡＢＭ ＝∠ＤＢＮ．因为 ∠ＡＢＤ＝∠ＤＢＣ，所以 ∠ＡＢＤ＝∠ＡＢＭ＋∠ＭＢＥ＝ ９０°．所以∠ＭＢＥ＋∠ＤＢＮ＝９０°，即ＢＭ⊥ＢＮ． 能力提高