第1期 1.1全等三角形 1.2怎样判定三角形全等(SAS,ASA)（答案见下期）-【数理报】2021-2022学年上学期八年级上册初二数学（青岛版）

书书书 （２０２１深圳南山区期中）如图，在△ＡＢＣ中，ＡＤ是 边ＢＣ上的中线，点Ｅ是ＡＣ边上的一点，连接ＢＥ交ＡＤ 于点Ｆ．已知ＡＣ＝ＢＦ，∠ＤＡＣ＝２５°，∠ＥＢＣ＝３０°，则 ∠Ｃ＝ ． 书书书 全等三角形是初中数 学的重要内容，它存在于 众多的情境中，下面举例 加以说明，供同学们赏析． 一、网格中的全等三 角形 例 １　 如图 １是由 ４个相同的小正方形组成 的网格图，则∠１＋∠２＝ （　　） Ａ．１５０° Ｂ．１８０° Ｃ．２１０° Ｄ．２２５° 解：在△ＡＢＣ和△ＥＤＣ中， 因为ＡＢ＝ＥＤ，∠Ｂ＝∠Ｄ，ＢＣ＝ＤＣ， 所以△ＡＢＣ≌△ＥＤＣ（ＳＡＳ）． 所以∠ＢＡＣ＝∠１． 所以∠１＋∠２＝１８０°． 故选Ｂ． 二、平面直角坐标系中的全等三角形 例２　在平面直角坐标系中，点 Ａ（－３，０），Ｂ（２， ０），Ｃ（－１，２），Ｅ（４，２），如果△ＡＢＣ与△ＥＦＢ全等，那 么点Ｆ的坐标可以是 （　　） Ａ．（６，０）　　　　　　Ｂ．（４，０） Ｃ．（４，－２） Ｄ．（４，－３） 解：Ｆ１，Ｆ２，Ｆ３，Ｆ４的坐标 分别为（６，０），（４，０），（４， －２），（４，－３），过点Ｃ作ＣＤ ⊥ＡＢ于点Ｄ，如图２． 根据题意，得ＡＢ＝５． 在 △ＥＦ１Ｂ中，最长边 ＢＦ１ ＝４．在△ＥＦ２Ｂ中，最长边ＢＥ＜４．在△ＥＦ３Ｂ中， 最长边ＥＦ３ ＝４． 所以 △ＥＦ１Ｂ，△ＥＦ２Ｂ，△ＥＦ３Ｂ都不与 △ＡＢＣ全 等． 在△ＢＣＤ和△Ｆ４ＢＦ２中，因为ＣＤ＝ＢＦ２，∠ＢＤＣ ＝ ∠Ｆ４Ｆ２Ｂ，ＢＤ ＝ Ｆ４Ｆ２， 所 以 △ＢＣＤ ≌ △Ｆ４ＢＦ２（ＳＡＳ）．所以∠ＣＢＤ＝∠ＢＦ４Ｆ２，ＢＣ＝Ｆ４Ｂ． 在△ＡＢＣ和△ＥＦ４Ｂ中，因为ＡＢ＝ＥＦ４，∠ＣＢＡ＝ ∠ＢＦ４Ｅ，ＢＣ＝Ｆ４Ｂ，所以△ＡＢＣ≌△ＥＦ４Ｂ（ＳＡＳ）． 故选Ｄ． 书书书 在求解有关全等三角形的动点问题时，要研究基本 图形及动点的运动状态，进而确定时间范围，借助方程 求解．解题过程中要注意有时需要分类讨论． 一、单向运动 例 １　 如图 １，在等边 △ＡＢＣ中，ＡＢ＝８，Ｄ为边ＢＣ上 一点，且ＢＤ＝６．动点Ｐ从点Ｃ 出发沿ＣＡ边以每秒２个单位的 速度向点 Ａ运动，连接 ＡＤ，ＢＰ． 设点Ｐ运动的时间为ｔ秒，当ｔ的 值为 时，△ＡＢＤ和△ＢＡＰ全等． 解：因为△ＡＢＣ是等边三角形，ＡＢ＝８，所以ＡＣ＝ ８，∠ＡＢＤ＝∠ＢＡＰ．因为△ＡＢＤ和△ＢＡＰ全等，所以ＢＤ ＝ＡＰ＝６．所以ＣＰ＝ＡＣ－ＡＰ＝２．所以ｔ＝２÷２＝１． 故填１． 例２　如图２，ＡＢ＝４ｃｍ， ＡＣ＝ＢＤ＝３ｃｍ，∠Ａ＝∠Ｂ，点 Ｐ在线段ＡＢ上以１ｃｍ／ｓ的速度 由点Ａ向点 Ｂ运动，同时，点 Ｑ 在线段 ＢＤ上由点 Ｂ向点 Ｄ运 动．设运动时间为ｔｓ，当点Ｑ的 运动速度为 ｃｍ／ｓ时，△ＡＣＰ与△ＢＰＱ全等． 解：设点Ｑ的运动速度是ｘｃｍ／ｓ．因为∠Ａ＝∠Ｂ， 所以△ＡＣＰ与△ＢＰＱ全等有两种情况： ①ＡＰ＝ＢＰ，ＡＣ＝ＢＱ＝３，则ｔ＝１２×４÷１＝２． 所以ｘ＝３÷２＝１．５； ②ＡＰ＝ＢＱ，ＡＣ＝ＢＰ＝３，则ｔ＝（４－３）÷１＝１． 所以ｘ＝１÷１＝１． 故填１．５或１． 二、往返运动 例３　如图３，在△ＡＢＣ中， ＢＣ ＝８ｃｍ，ＡＧ∥ ＢＣ，ＡＧ ＝ ８ｃｍ，点Ｆ从点Ｂ出发，沿线段 ＢＣ以４ｃｍ／ｓ的速度连续做往返 运动，点Ｅ从点Ａ出发沿线段ＡＧ 以２ｃｍ／ｓ的速度运动至点Ｇ，Ｅ，Ｆ两点同时出发，当点Ｅ 到达点Ｇ时，Ｅ，Ｆ两点同时停止运动，ＥＦ与 ＡＣ交于点 Ｄ．设点 Ｅ的运动时间为 ｔｓ，当 ｔ的值为 时， △ＡＤＥ≌△ＣＤＦ． 解：点Ｅ到达点Ｇ所用的时间是：８÷２＝４（ｓ）．点Ｆ 到达点Ｃ所用的时间是：８÷４＝２（ｓ）．因为 △ＡＤＥ≌ △ＣＤＦ，所以ＡＥ＝ＣＦ． ①当点Ｆ从点Ｂ运动至点Ｃ时，０＜ｔ≤２，８－４ｔ＝ ２ｔ，解得ｔ＝ ４３； ②当点Ｆ从点Ｃ返回至点Ｂ时，２＜ｔ≤４，４ｔ－８＝ ２ｔ，解得ｔ＝４． 故填 ４ ３或４． 书书书 全等三角形中有两个基本图形，一个可用来证明线 段相等，另一个可用来证明角相等．它们在全等三角形 的证明中应用非常广泛，下面举例说明． 性质：如图１，等长线段加上（或减去）同一线段后 仍相等． 一般推理步骤为：因为ＡＢ＝ＣＤ（已知），所以ＡＢ＋ ＢＤ＝ＣＤ＋ＢＤ，即ＡＤ＝ＣＢ；或因为ＡＤ＝ＣＢ（已知）， 所以ＡＤ－ＢＤ＝ＣＢ－ＢＤ，即ＡＢ＝ＣＤ． 例１　（２０２０常州）如图２， 点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ在一条直线上，ＥＡ ∥ＦＢ，ＥＡ＝ＦＢ，ＡＢ＝ＣＤ． （１）试说明：∠Ｅ＝∠Ｆ； （２）若 ∠Ａ＝４０°，∠Ｄ＝ ８０°，求∠Ｅ的度数． 解：（１）因为ＥＡ∥ＦＢ，所以∠Ａ＝∠ＦＢＤ． 因为ＡＢ＝ＣＤ，所以ＡＢ＋ＢＣ＝ＣＤ＋ＢＣ，即ＡＣ＝ ＢＤ． 在△ＥＡＣ和 △ＦＢＤ中