第5期 2.4线段的垂直平分线2.5角平分线的性质2.6等腰三角形（答案见第7期）-【数理报】2021-2022学年上学期八年级上册初二数学（青岛版）

书书书 建筑物的选址问题 本质上就是确定点的位 置，由于选址要求不同， 确定点的位置的方法也 不同，本文将这类问题 整理分析如下，供同学 们参考． 一、运用线段垂直 平分线的性质确定 例 １　（２０２０运城 盐湖区期末）如图１，有 Ａ，Ｂ，Ｃ三个居民小区的 位置成三角形，现决定 在三个小区之间修建一 个购物超市，使超市到 三个小区的距离相等， 请你作出超市 Ｐ的位 置． 分析：要作的点Ｐ必须满足条件ＰＡ＝ＰＢ＝ＰＣ，故 点Ｐ必须分别满足条件ＰＡ＝ＰＢ和ＰＢ＝ＰＣ．当点Ｐ在 线段ＡＢ的垂直平分线上时，ＰＡ＝ＰＢ；当点 Ｐ在线段 ＢＣ的垂直平分线上时，ＰＢ＝ＰＣ．所以线段ＡＢ和线段 ＢＣ的垂直平分线的交点即为点Ｐ的位置． 解：如图２，分别作线段 ＡＢ 的垂直平分线ｌ１，线段ＢＣ的垂直 平分线ｌ２，则ｌ１，ｌ２的交点即为超 市Ｐ的位置． 二、运用角的平分线的性质确定 例２　将例１中的使“超市到三个小区的距离相 等”改为“到三条街道ＡＢ，ＢＣ，ＡＣ的距离相等”，请你作 出超市Ｐ的位置． 分析：要作的点Ｐ必须满足的条件是到 △ＡＢＣ的 三边的距离相等，故点 Ｐ到 ＡＢ，ＢＣ的距离相等且到 ＡＣ，ＢＣ的距离相等．当点Ｐ在∠ＡＢＣ的平分线上时，点 Ｐ到ＡＢ，ＢＣ的距离相等；当点Ｐ在∠ＡＣＢ的平分线上 时，点Ｐ到ＡＣ，ＢＣ的距离相等．所以点Ｐ在 ∠ＡＢＣ和 ∠ＡＣＢ的平分线的交点处． 解：如图３，分别作 ∠ＡＢＣ的 平分线 ＢＥ，∠ＡＣＢ的平分线 ＣＦ， 则ＢＥ，ＣＦ的交点即为超市Ｐ的位 置． 三、联用线段垂直平分线的性质和角的平分线的 性质确定 例３　如图４，有Ａ，Ｂ，Ｃ三个居民小区，现决定在 三个小区之间修建一个购物超市，使超市到两条街道 ＡＤ，ＡＥ的距离相等，且到 Ｂ，Ｃ两个居民小区的距离也 相等，请你作出超市Ｐ的位置． 分析：由已知，得点Ｐ到ＡＤ，ＡＥ的距离相等且到点 Ｂ，Ｃ的距离也相等．当点Ｐ在∠ＤＡＥ的平分线上时，点 Ｐ到ＡＤ，ＡＥ的距离相等；当点Ｐ在线段ＢＣ的垂直平分 线上时，点Ｐ到点Ｂ，Ｃ的距离相等．所以点Ｐ在∠ＤＡＥ 的平分线和线段 ＢＣ的垂直平分 线的交点处． 解：如图５，连接ＣＢ．作∠ＤＡＥ 的平分线ＡＦ，线段ＢＣ的垂直平分 线ＧＨ，则ＡＦ，ＧＨ的交点即为超市 Ｐ的位置． 书书书 一、直接应用角平分 线的性质 例１　 如图 １，△ＡＢＣ 的面积为 ３０，Ｏ为 △ＡＢＣ 的三个内角平分线的交 点，ＯＨ⊥ＢＣ于点Ｈ，且ＯＨ ＝３，根据现有条件，你能 求出 △ＡＢＣ的周长吗？若 能，请计算出结果；若不 能，请说明理由． 解：能．理由如下： 过点Ｏ作ＯＥ⊥ＡＢ于 点Ｅ，ＯＦ⊥ ＡＣ于点 Ｆ，如 图１． 因为ＢＯ平分∠ＡＢＣ，ＣＯ平分∠ＡＣＢ， 所以ＯＥ＝ＯＨ＝ＯＦ＝３． 因为Ｓ△ＡＢＣ ＝Ｓ△ＡＢＯ ＋Ｓ△ＢＣＯ ＋Ｓ△ＣＡＯ ＝ １２ＡＢ·ＯＥ＋ １ ２ＢＣ·ＯＨ＋ １ ２ＡＣ·ＯＦ ＝ ３２（ＡＢ＋ＢＣ＋ＡＣ）＝３０， 所以ＡＢ＋ＢＣ＋ＡＣ＝２０，即△ＡＢＣ的周长为２０． 二、利用角平分线的性质构造全等三角形 例２　如图２，∠１＝∠２，Ｐ 为ＢＮ上一点，且ＰＤ⊥ＢＣ于点 Ｄ，ＡＢ＋ＢＣ＝２ＢＤ．试说明： ∠ＢＡＰ＋∠ＢＣＰ＝１８０°． 解：如图２，过点Ｐ作ＰＥ⊥ ＢＡ于点Ｅ，所以∠ＰＥＢ＝９０°． 因为ＰＤ⊥ＢＣ，∠１＝∠２，所以∠ＰＤＢ＝∠ＰＤＣ ＝９０°，ＰＥ＝ＰＤ． 所以△ＢＰＥ≌△ＢＰＤ．所以ＢＥ＝ＢＤ． 因为ＡＢ＋ＢＣ＝２ＢＤ，所以ＡＥ＝ＣＤ． 在△ＰＥＡ和△ＰＤＣ中，因为 ＰＥ＝ＰＤ，∠ＰＥＡ＝ ∠ＰＤＣ，ＡＥ＝ＣＤ，所以△ＰＥＡ≌△ＰＤＣ．所以∠ＰＡＥ＝ ∠ＰＣＤ． 因为∠ＢＡＰ＋∠ＰＡＥ＝１８０°，所以∠ＢＡＰ＋∠ＢＣＰ ＝１８０°． 书书书 上期２版 ２．１图形的轴对称 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｂ；　３．２；　４．１０． ５．图略． ６．（１）点Ａ与点Ｄ，点Ｂ与点Ｅ，点Ｃ与点Ｆ分别是 对应点； （２）∠Ｆ＝９０°； （３）△ＤＥＦ的周长为３０ｃｍ，面积为３０ｃｍ２． 能力提高　７．图略． ２．２轴对称的基本性质 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｄ；　３．相互垂直；　４．１２． ５．（１）图略； （２）Ａ１（－１，０），Ｂ１（－４，２），Ｃ１（－２，３）． 能力提高　６．由轴对称的性质，得∠ＡＥＦ＝∠ＤＥＦ， ∠ＡＦＥ＝∠ＤＦＥ． 因为∠Ａ＝４８°，所以∠ＡＥＦ＋∠ＡＦＥ＝１８０°－∠Ａ ＝１３２°． 所以 ∠ＡＥＤ＋∠ＡＦＤ ＝２（∠ＡＥＦ＋∠ＡＦＥ）＝ ２６４°． ２．３轴对称图形 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｄ；　３．一定，不一定； ４．林、上、下，显、吕；　５．答案不惟一，如３． ６．图略． ７．四边形ＡＢＥＣ是轴对称图形．理由如下： 因为ＡＤ平分∠ＢＡＣ， 所以∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＥ． 在△ＡＢＥ和△ＡＣＥ中，