专题19三角函数与解三角形第六缉-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)

备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021) 专题19三角函数与解三角形第六缉 1．【2021年江西预赛】锐角△ABC中，若 的和等于 中的某个值，证明： 必可按某顺序组成一个等差数列. 【答案】证明见解析 【解析】证明:不妨设 (1), 据余弦定理: (2), 而 , 由 得, (4), 由(1)(4)得, , 因 为锐角,则 , 所以 于是 tanA ; 因此, 成等差数列. 2．【2021年新疆预赛】已知 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,求证: 【答案】证明见解析 【解析】证明; 另一方面，由正弦定理和柯西不等式得： . 同理 , 三式相加得： ， 综上，原不等式成立. 3．【2020高中数学联赛A卷（第01试）】在中,.求的取值范围. 【答案】 【解析】记. 由条件知或. 当时,,其中, 此时. 当时,,其中, 此时, 其中. 注意到,函数在上单调增,在上单调减, 又,，故. 综上所述,的取值范围是. 4．【2020年甘肃预赛】已知△ABC中, , 的对边a,b,c成等比数列, ,延长BC至点 ,使 求: (1) 的大小; (2) 的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【解析】 由题意知 . ① 又 ,则 ② 故 或 舍去). 又 ,从而, . (2)由(1)结论,①+②得 则 故 为等边三角形. 设 的边长为x.则 故 , 当且仅当 时,上式等号成立. 故 的取值范围是 5．【2020年甘肃预赛】已知函数 . （1）若 ，判断 在区间 的单调性; (2)证明: (3)设 ,对任意的 ,有 恒成立,求 的最小值. 【答案】(1) 在区间 单调递增.(2)证明见解析；(3)2. 【解析】(1)注意到， ， . 由 又由 ,知 . 结合 ,得 故 因此, 在区间 单调递增. (2)由 ,知当 时, . 令 得 . 从而, . 则 故 . 结论得证. (3)注意到， . 令 则 . 故 在区间 单调递增. 又 , ， 故 在区间( 存在唯一零点 则 . 从而,当 时, 单调递减; 当 时, 单调递增. 故 令 ,则 . 令 ,则 . 于是, 在区间( 单调递增， . 从而, 在区间 单调递增.故 . 因此, 的最小值为2. 6．【2020年吉林预赛】已知 的内角 的对边分别为a、b、c,且有 . 求 ; (2)若 为锐角三角形,且 ,求 面积的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【解析】 因为 ,所以由正弦定理得 . 又 ,则 . 故 . 已知 从而, . 又 ,故 . 由 ,知 . 于是, . 因为 是锐角三角形,所以, . 又由正弦定理 ,知 则 又 ,故 . 因此, 的取值范围是 7．【2020年重庆预赛】设实数 若关于 的方程 有解,求 的取值范围. 【答案】 【解析】原方程等价于 ① 当 时,方程①左边为0,显然无解. 当 时,方程①进一步等价于 . 注意到, ,且 故方程①有解当且仅当 , 即 . 综上, . 8．【2019年全国】在△ABC中，BC=a，CA=b，AB=c.若b是a与c的等比中项，且sinA是sin（B-A）与sinC的等差中项，求cosB的值. 【答案】 【解析】由题意ac=b2， ， 整理即sin B=tan A. 对ac=b2利用正弦定理并结合三项的等差数列得. 即. 于是. 即. . 令，则，解得. 9．【2019年上海预赛】已知，且.求tanA的最大值. 【答案】 【解析】由题设等式得 . 令t=tanA.则 其中,θ为锐角,. 故 注意到,t>0,可得. 当时,题设等式成立. 因此,tanA的最大值为 10．【2019年北京预赛】如图,,,,,.则等于 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为,考虑已知条件,有 . 所以. 11．【2019年吉林预赛】已知函数. (1)求f(x)的单调递增区间 (2)若不等式在上恒成立,求实数m的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【解析】(1)在的增区间. ， 且. . (2)在上恒成立， ， 在. ，. 12．【2019高中数学联赛A卷（第01试）】在△ABC中，BC=a，CA=b，AB=c.若b是a与c的等比中项，且sinA是sin(B－A)与sinC的等差中项，求cosB的值. 【答案】 【解析】因b是a、c的等比中项，故存在q>0，满足. 因sinA是sin(B－A)，sinC的等差中项，故 . 结合正、余弦定理，得，即. 将①代入并化简，可知，即，所以. 进而. 13．【