12 追梦中考模拟演练卷(1)-【追梦之旅·铺路卷】2021-2022学年九年级上册数学（北师大版）

故 πx2 4 -S3 -( x2 4 -S3)= π-1,即 x1 = 2,x2 = -2(舍去),∴ AC = 2. 15. 2 3 　 【解析】过点 D 作 DE⊥x 轴于点 E,则∠AED= 90°. 令 y = 0 得 ax2 -4ax+ 3a = 0,解得 x1 = 1,x2 = 3. ∴ OA = 1,OB = 3, 令 x= 0,得 C(0,3a) . ∵ 线段 AC 绕点 A 顺时针旋转 90°得到 线段 AD,∴ AC=AD,∠CAD= 90°,∴ ∠CAO+∠DAE = 90°. ∵ ∠COA= 90°,∴ ∠CAO+ ∠ACO = 90°,∴ ∠DAE = ∠ACO,在 △ACO 和 △DAE 中, ∠COA= ∠AED ∠ACO= ∠DAE AC=AD{ , ∴ △ACO ≌ △DAE (AAS) . ∴ DE=OA = 1,AE = OC = 3a,∴ BE = AE-AB = 3a- 2, ∴ 在 Rt△BDE 中,由勾股定理,得 BD2 =BE2 +DE2 =(3a-2) 2 +1≥1. 当 3a-2 = 0,即 a= 2 3 时,BD 取得最小值. 三、16. 解:原式= 2+ 1 1 3 -1× 3 = 2+3-1× 3 = 5- 3 . 17. 解:(1)把(3,2)代入 y = x2 +bx- 1,得 9+ 3b- 1 = 2,解得 b = -2,所以二次函数解析式为 y= x2 -2x-1. (2) y = x2 -2x-1 = (x-1)2 -2,所以抛物线的顶点坐标为 (1,-2),如图; (3)当 x≥3 或 x≤-1 时,y≥2. 18. 解:过点 P 作 PC⊥AB,垂足为点 C,设 PC = x 海里. 在 Rt △APC 中. ∵ tan ∠A = PC AC , ∴ AC = PC tan67. 5° = 5x 12 ,在 Rt △PCB 中. ∵ tan∠B= PC BC ,∴ BC = x tan36. 9° = 4 3 x. ∵ AC+ BC=AB= 63(海里),∴ 5 12 x+ 4 3 x = 63,解得 x = 36. ∵ sin ∠A= PC PA , ∴ PA = PC sin67. 5° = 36 sin67. 5° = 36 × 13 12 = 39 ( 海 里) . ∴ 巡逻船 A 与落水人 P 的距离为 39 海里. 19. 解:(1) ∵ ∠ACB = 90°,∴ ∠ACF = ∠ACB = 90°,∠B+∠BAC = 90°. ∵ AD⊥AB,∴ ∠BAC+ ∠CAF = 90°,∴ ∠B = ∠CAF,∴ △ABC∽△FAC,∴ AC CF = BC AC ,即 3 CF = 4 3 ,解 得 CF= 9 4 . (2)过点 C 作 CH⊥AB 于点 H. ∵ AC= 3,BC= 4,∴ AB= 5, 则 CH= AC·BC AB = 12 5 ,∴ AH = AC2 -CH2 = 9 5 ,EH = AE-AH= 6 5 ,∵ ∠D+∠AED = 90°,∠AED+∠ECH = 90°,∴ ∠D= ∠ECH,∴ tanD= tan∠ECH= EH CH = 1 2 . 20. (1)证明:∵ PC 切☉O 于点 P,∴ OP⊥PC. ∵ AC⊥PC,∴ AC ∥OP,∴ ∠CAP = ∠APO. ∵ OP = OA,∴ ∠OAP = ∠OPA, ∴ ∠CAP= ∠OAP,∴ AP 平分∠CAB. (2)解:①π　 【解析】当∠AOP = 90°时,四边形 AOPC 为矩 形,而 OA=OP,此时矩形 AOPC 为正方形,∴ AP ( 的长为 = 90 ×π×22 360 = π; ②2 或 2 3 　 【解析】当 AD = AP = OP = OD 时,四边形 ADOP 为菱形,△AOP 和△AOD 为等边三角形,则∠AOP = 60°,AP=OP= 2. 当 AD=DP=PO=OA 时,四边形 ADPO 为菱形,△AOD 和 △DOP 为等边三角形,则 ∠AOP = 120°,则 AP= 2 3 . 21. 解:(1)根据题意,①设售价涨价 x 元,( 20 - 15 + x) ( 450 - 50x)= 2400. 解得 x1 = 1,x2 = 3. ∵ 调整价格也兼顾顾 客利益,∴ x= 1,则售价为 21 元;②设售价降价 y 元, (20-15-y)(450+150y)= 2400. 解得 y1 = y2 = 1,则售 价为 19 元. 故调整价格也兼顾顾客利益,售价应定 为 19 元. (2) 根据题意,①设售价涨价 x 元时,每天的毛利为 w1 元,w1 = (20-15+x)(450-50x)= -50x2 +200