2.5 平面向量应用举例-人教A版高中数学必修四讲义（解析版）

第五讲 平面向量应用举例 教材要点 学科素养 学考 高考 考法指津 高考考向 1.平面向量在平面几何中的简单应用 数学运算 水平1 水平2 用向量解决实际问题的两种方法（基底法和坐标法）和向量法解决几何问题的“三步曲”；难点是如何将实际问题转化为向量问题。 【考查内容】 1、向量在解析几何中的应用，主要涉及平行、垂直、夹角的运算。 【考查题型】选择题、填空题 【分值情况】5分 2.平面向量在物理中的简单应用 数学运算 水平1 水平1 高中数学，同步讲义 必修四 第二章 平面向量 第五讲 平面向量应用举例 知识通关 1 知识点一　向量在平面几何中的应用 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夹角为θ. 思考1　证明线线平行、点共线及相似问题，可用向量的哪些知识？ 答案　可用向量共线的相关知识： a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0(b≠0)． 思考2　证明垂直问题，可用向量的哪些知识？ 答案　可用向量垂直的相关知识： a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 思考3　用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是怎样的？ 答案　 (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系、距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 梳理　 (1)证明线线平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件： a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0. (2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件： 非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. (3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式： cos θ＝＝ . (4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式： |a|＝. 知识点二　直线的方向向量和法向量 思考　若向量a＝(a1，a2)平行于直线l，则a1，a2与直线l的斜率k有何关系？ 答案　设A(x1，y1)∈l，P(x，y)∈l，直线l的倾斜角为α，斜率为k. ∵向量a平行于l， ∴由直线斜率和正切函数的定义， 可得k＝