重点题型训练6-【新教材】2021-2022学年北师大版（2019）高中数学必修第一册

北师大版（新教材）高一必修1重点题型N6 第二章 函数 考试范围：3.函数的单调性和最值；考试时间：100分钟；命题人：LEOG 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型1、函数单调性判断与单调区间的求解 1．设函数f（x）＝（a＞b＞0），求f（x）的单调区间，并加以证明． 【考点】函数的单调性及单调区间．版权所有 【分析】根据题意，先求出函数的定义域，由函数单调性的定义，用定义法证明即可得结论． 【解答】解：根据题意，函数f（x）＝（a＞b＞0），其定义域为{x|x≠﹣b}， 在区间（﹣∞，﹣b）和（﹣b，+∞）上为减函数； 证明：f（x）＝＝1+，设x1＜x2＜﹣b， f（x1）﹣f（x2）＝（1+）﹣（1+）＝（a﹣b）， 又由x1＜x2＜﹣b，则有（x1+b）＜0，（x2+b）＜0，（x2﹣x1）＞0， 则f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）， 函数f（x）在（﹣∞，﹣b）为减函数；设b＜x1＜x2， 同理可得：f（x1）＞f（x2），函数f（x）在（﹣∞，﹣b）为减函数； 故f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣b）和（﹣b，+∞）． 【点评】本题考查函数的单调性的判定，注意对a、b的值分情况讨论． 2．函数y＝的单调递增区间是 　（﹣∞，﹣1）和（﹣1，+∞）　． 【考点】函数的单调性及单调区间．版权所有 【分析】化简函数y＝2﹣，结合y＝﹣的单调性，可得所求区间． 【解答】解：函数y＝＝2﹣， 可得函数y＝的增区间为（﹣∞，﹣1）和（﹣1，+∞）． 故答案为：（﹣∞，﹣1）和（﹣1，+∞）． 【点评】本题考查函数的单调区间的求法，考查转化思想和推理能力，属于基础题． 3．已知函数f（x）＝|1+2x|+|2﹣x|，则f（x）的单调递增区间为 　（﹣，+∞）　，单调递减区间为 　（﹣∞，﹣]　． 【考点】函数的单调性及单调区间．版权所有 【分析】利用绝对值的含义化简f（x）的解析式，作出f（x）的图象，利用图象判断函数单调区间． 【解答】解：f（x）＝画出函数f（x）的大致图象（如图）， 结合图象，得函数的单调递增区间是，单调递减区间是． 故答案为：． 【点评】本题考查利用图象求函数的单调区间，属于基础题． 4．函数y＝﹣x2+2|x|+3的单调递减区间为　（﹣1，0），（1，+∞）　，函数y＝|﹣x2+2x+3|的单调递减区间为　（﹣∞，﹣1），（1，3）　． 【考点】函数的单调性及单调区间．版权所有 【分析】利用函数图象的变换法则，作出函数图象，利用函数图象即可得到单调区间． 【解答】解：作出函数y＝﹣x2+2|x|+3＝﹣|x|2+2|x|+3的图象如下图所示： 由图象可知，函数y＝﹣x2+2|x|+3的单调递减区间为（﹣1，0），（1，+∞）； 作出函数y＝|﹣x2+2x+3|的图象如下图所示： 由图象可知，函数y＝|﹣x2+2x+3|的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（1，3）． 故答案为：（﹣1，0），（1，+∞）；（﹣∞，﹣1），（1，3）． 【点评】本题考查利用函数图象求函数的单调性，解题的关键是根据函数图象的变换，正确作出函数图象，属于基础题． 5．判断函数y＝x﹣，x∈（0，+∞）的单调性并说明理由． 【考点】函数的单调性及单调区间；函数单调性的性质与判断．版权所有 【分析】根据题意，设0＜x1＜x2，由作差法分析可得结论． 【解答】解：根据题意，函数y＝x﹣在（0，+∞）上递增， 证明：设f（x）＝x﹣，设0＜x1＜x2， 则f（x1）﹣f（x2）＝（x1﹣）﹣（x2﹣）＝（x1﹣x2）（1+）， 又由0＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＜0， 故函数y＝x﹣在（0，+∞）上递增． 【点评】本题考查函数单调性的判断和证明，注意作差法的应用，属于基础题． 6．函数f（x）＝的单调递增区间为　[﹣2，2]　． 【考点】函数的单调性及单调区间．版权所有 【分析】根据二次个数的性质以及二次个数的性质求出函数的递增区间即可． 【解答】解：令g（x）＝﹣x2+4x+12＝﹣（x﹣2）2+16， 令g（x）≥0，解得：﹣2≤x≤6， 而g（x）的对称轴是：x＝2， 故g（x）在[﹣2，2）递增，在（2，6]递减， 故函数f（x）在[﹣2，2]递增， 故答案为：[﹣2，2]． 【点评】本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道基础题． 7．函数f（x）＝的单调递增区间是　[0，1]　． 【考点】函数的单调性及单调区间．版权所有 【分析】根据复合函数单调性之间的关系进行求解即可． 【解答】解：设t＝2x﹣x2，则y＝为增函数， 由2x﹣x2≥0，得0≤x≤2，即函数的定义域为[0，2]，函数t＝2x﹣x