重点题型训练5-【新教材】2021-2022学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册

人教A版（新教材）高二选择性必修第一册重点题型N5 第三章 圆锥曲线的方程 考试范围：3.1.1椭圆及其标准方程；3.1.2椭圆的简单几何性质；考试时间：100分钟；命题人：LEOG 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型1、椭圆的定义与轨迹问题 1．已知△ABC的周长为20，且顶点B（0，﹣4），C（0，4），则顶点A的轨迹方程是（　　） A．（x≠0） B．（x≠0） C．（x≠0） D．（x≠0） 【考点】椭圆的定义．版权所有 【分析】根据三角形的周长和定点，得到点A到两个定点的距离之和等于定值，得到点A的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在y轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点． 【解答】解：∵△ABC的周长为20，顶点B （0，﹣4），C （0，4）， ∴BC＝8，AB+AC＝20﹣8＝12，∵12＞8 ∴点A到两个定点的距离之和等于定值， ∴点A的轨迹是椭圆，∵a＝6，c＝4∴b2＝20， ∴椭圆的方程是故选：B． 【点评】本题考查椭圆的定义，注意椭圆的定义中要检验两个线段的大小，看能不能构成椭圆，本题是一个易错题，容易忽略掉不合题意的点． 2．方程化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【考点】椭圆的定义．版权所有 【分析】根据方程得出它表示的几何意义是椭圆，从而求出方程化简的结果是椭圆的标准方程． 【解答】解：∵方程， 表示平面内到定点F1（0，﹣2）、F2（0，2）的距离的和是常数10（10＞4）的点的轨迹， ∴它的轨迹是以F1、F2为焦点，长轴2a＝10，焦距2c＝4的椭圆； ∴a＝5，c＝2，b＝＝； ∴椭圆的方程是＝1，即为化简的结果．故选：D． 【点评】本题考查了椭圆的定义问题，解题时应根据题意得出方程表示的几何意义是什么，从而得到化简的结果，是基础题． 3．已知动圆C与圆（x+1）2+y2＝1及圆（x﹣1）2+y2＝25都相切，则动圆圆心C的轨迹方程为　，或+＝1　． 【考点】椭圆的定义．版权所有 【分析】设圆（x+1）2+y2＝1的圆心O1（﹣1，0），半径r1＝1；圆（x﹣1）2+y2＝25的圆心O2（1，0），半径r2＝5．设动圆C的圆心C（x，y），半径R．由于动圆C与圆（x+1）2+y2＝1及圆（x﹣1）2+y2＝25都内切时，可得|O1C|＝R﹣1，|O2C|＝5﹣R．于是|O1C|+|O2C|＝5﹣1＝4＞|O1O2|＝2，利用椭圆的定义可知：动点C的轨迹是椭圆．求出即可． 当动圆C与圆（x+1）2+y2＝1外切与圆（x﹣1）2+y2＝25内切时，可得动点C的轨迹是双曲线的右支在圆（x﹣1）2+y2＝25内的一部分，同理可得． 【解答】解：设圆（x+1）2+y2＝1的圆心O1（﹣1，0），半径r1＝1；圆（x﹣1）2+y2＝25的圆心O2（1，0），半径r2＝5． 设动圆C的圆心C（x，y），半径R． ①当动圆C与圆（x+1）2+y2＝1及圆（x﹣1）2+y2＝25都内切， ∴|O1C|＝R﹣1，|O2C|＝5﹣R． ∴|O1C|+|O2C|＝5﹣1＝4＞|O1O2|＝2， 因此动点C的轨迹是椭圆，设其标准方程为：． 则2a＝4，2c＝2，解得a＝2，c＝1，∴b2＝a2﹣c2＝3． 因此动圆圆心C的轨迹方程是． ②当动圆C与圆（x+1）2+y2＝1外切与圆（x﹣1）2+y2＝25内切时， 可得|O1C|＝R+1，|O2C|＝5﹣R． ∴|O1C|+|O2C|＝6＞|O1O2|＝2， 因此动点C的轨迹是椭圆，设其标准方程为：+＝1（m，n＞0），其中m2＝n2+c2．＝ 则2m＝6，2c＝2，解得m＝3，c＝1，∴n2＝m2﹣c2＝8． 因此动圆圆心C的轨迹方程是：+＝1． 故答案为：，或+＝1． 【点评】本题考查了两圆相相切的性质、椭圆的定义及其标准方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 4．已知P为⊙B：（x+2）2+y2＝36上一动点，点A（2，0），线段AP垂直平分线交直线BP于点Q，求点Q的轨迹方程． 【考点】椭圆的定义．版权所有 【分析】结合已知条件根据椭圆的定义，点Q的轨迹是中心在原点，以B、A为焦点，长轴长等于6的椭圆，由此能求出点Q的轨迹方程． 【解答】解：（1）圆C的圆心为B（﹣2，0），半径r＝6，|BA|＝4． 连结QA，由已知得|QA|＝|QP|， ∵|QB|+|QA|＝|QB|+|QP|＝BP＝r＝6＞|BA|． 根据椭圆的定义，点Q的轨迹是中心在原点，以B、A为焦点，长轴长等于6的椭圆， 即a＝3，c＝2，b2＝a2﹣c2＝9﹣4＝5， ∴点Q的轨迹方程为+＝1． 【点评】本题考查点的轨迹方程的求法，解题时要认真审题． 5．已知F是椭圆5x2+9y2＝45的左焦点，P是此