重点题型训练4-【新教材】2021-2022学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册

人教A版（新教材）高二选择性必修第一册重点题型N4 第二章 直线和圆的方程 考试范围：2.4圆的方程；2.5直线与圆、圆与圆的位置关系 考试时间：100分钟；命题人：LEOG 题型1、二元二次方程表示圆的问题 1．若方程x2+y2﹣4x+2y+5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是（　　） A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．[1，+∞） D．R 【考点】二元二次方程表示圆的条件．版权所有 【分析】由方程x2+y2﹣4x+2y+5k＝0配方可得（x﹣2）2+（y+1）2＝5﹣5k，此方程表示圆，则5﹣5k＞0，解得即可． 【解答】解：由方程x2+y2﹣4x+2y+5k＝0可得（x﹣2）2+（y+1）2＝5﹣5k，此方程表示圆，则5﹣5k＞0，解得k＜1． 故实数k的取值范围是（﹣∞，1）． 故选：A． 【点评】思路掌握配方法、圆的标准方程是解题的关键． 2．若方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a＝0表示圆，则a的值为（　　） A．a＝1或a＝﹣2 B．a＝2或a＝﹣1 C．a＝﹣1 D．a＝2 【考点】二元二次方程表示圆的条件．版权所有 【分析】由二次项额系数相等不等于0，且化为一般式后满足D2+E2﹣4F＞0联立求解a的取值范围． 【解答】解：若方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a＝0表示圆， 则，解得a＝﹣1． 故选：C． 【点评】本题考查了二元二次方程表示圆的条件，解答的关键是充分理解圆的一般式方程，是基础题． 3．若关于x，y的方程x2+y2﹣2x﹣4y+m＝0表示圆，则实数m的取值范围是　m＜5（或（﹣∞，5））　． 【考点】二元二次方程表示圆的条件．版权所有 【分析】根据圆的一般式方程x2+y2+dx+ey+f＝0（ d2+e2﹣4f＞0），列出不等式4+16﹣4m＞0，求m的取值范围． 【解答】解：关于x，y的方程x2+y2﹣2x﹣4y+m＝0表示圆时，应有4+16﹣4m＞0，解得 m＜5，故答案为：（﹣∞，5）． 【点评】本题考查二元二次方程表示圆的条件，x2+y2+dx+ey+f＝0表示圆的充要条件是：d2+e2﹣4f＞0． 4．方程x2+y2+2ax﹣by+c＝0表示圆心为C（2，2），半径为2的圆，则a，b，c的值依次为（　　） A．2，4，4 B．﹣2，4，4 C．2，﹣4，4 D．2，﹣4，﹣4 【考点】二元二次方程表示圆的条件．版权所有 【分析】先根据方程求出用a、b和c表示的圆心坐标和圆的半径，再由题意代入对应的式子求出a、b和c的值． 【解答】解：由x2+y2+2ax﹣by+c＝0得，圆心坐标是（﹣a，），半径为r2＝， 因圆心为C（2，2），半径为2，解得a＝﹣2，b＝4，c＝4，故选：B． 【点评】本题考查了二元二次方程表示圆的问题，即根据方程表示出圆心坐标以及半径，再把条件代入进行求值． 5．已知方程x2+y2﹣2（t+3）x+2（1﹣4t2）y+16t4+9＝0表示一个圆． （1）求t的取值范围； （2）求该圆半径r的最大值及此时圆的标准方程． 【考点】二元二次方程表示圆的条件．版权所有 【分析】（1）利用圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F＝0表示圆的充要条件是D2+E2﹣4F＞0即可得出； （2）利用r＝即二次函数的性质即可求出． 【解答】解：（1）∵已知方程表示一个圆，所以D2+E2﹣4F＞0，即4（t+3）2+4（1﹣4t2）2﹣4（16t4+9）＞0，整理得7t2﹣6t﹣1＜0，解得． （2）＝≤，当t＝时，rmax＝．圆的标准方程为 【点评】熟练掌握圆的一般方程表示圆的充要条件和二次函数的性质是解题的关键． 题型2、点与圆的位置关系的应用 1．点（1，1）在圆（x﹣a）2+（y+a）2＝4的内部，则a的取值范围是（　　） A．﹣1＜a＜1 B．0＜a＜1 C．a＜﹣1或a＞1 D．a＝±1 【考点】点与圆的位置关系．版权所有 【分析】圆（x﹣a）2+（y+a）2＝4表示平面上到圆心（a，﹣a）的距离为2的所有点的集合，如果点（1，1）在圆内，则得到圆心与该点的距离小于半径，列出关于a的不等式，求出解集即可得到a的取值范围． 【解答】解：因为点（1，1）在圆（x﹣a）2+（y+a）2＝4的内部， 所以表示点（1，1）到圆心（a，﹣a）的距离小于2， 即＜2 两边平方得：（1﹣a）2+（a+1）2＜4， 化简得a2＜1，解得﹣1＜a＜1，故选：A． 【点评】考查学生会利用点到圆心的距离与半径的大小判断点与圆的位置关系．会灵活运用两点间的距离公式化简求值，会求一元二次不等式的解集． 2．点A（1，2）与圆C：（x+1）2+（y﹣2）2＝1的位置关系是（　　） A．圆内 B．圆外 C．圆上 D．不能确定 【考点】点与圆的位置关系．版权所有 【分析】求出圆心坐标，结合点