第10讲 对数与对数函数-【高考艺术生专用】2022年高考数学一轮复习讲义（基础版，全国通用版）

第10讲 对数与对数函数 一、对数与对数运算 1．对数的概念 （1）对数：一般地，如果，那么数 x叫做以a为底 N的对数，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. （2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数lgN；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数lnN. （3）对数式与指数式的互化：. 2．对数的性质 根据对数的概念，知对数具有以下性质： （1）负数和零没有对数，即； （2）1的对数等于0，即； （3）底数的对数等于1，即； （4）对数恒等式. 3．对数的运算性质 如果，那么： （1）； （2）； （3）. 4．对数的换底公式 对数的换底公式：. 换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以e为底的自然对数. 换底公式的变形及推广： （1）； （2）； （3）(其中a，b，c均大于0且不等于1，d>0). 二、对数函数及其性质 1．对数函数的概念 一般地，我们把函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是. 2．对数函数的图象 一般地，对数函数的图象与性质如下表所示： 图象 三、对数函数的性质 一般地，对数函数的性质如下表所示： 图象 定义域 值域 性质 过定点，即时， 在上是减函数 在上是增函数 当x＞1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0 当x＞1时，y＞0； 当0＜x＜1时，y＜0 考点一 对数概念与对数运算 1．（2021·嘉兴市第五高级中学高二期中）已知函数，则（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】 根据函数解析式可知. 故选：C 2．（2021·上海高一专题练习）若log32=x，则3x+9x的值为（ ） A．6 B．3 C． D． 【答案】A 【详解】 由log32=x得3x=2，因此9x=(3x)2=4，所以3x+9x=2+4=6. 故选：A. 3．（2021·广东高一单元测试）已知，则的值为（ ） A．3 B．6 C．9 D． 【答案】A 【详解】 解：由，得， 故选：A 4．（2021·湖南娄底一中高二期中）已知函数，若，则等于（ ） A． B． C．或 D．2 【答案】A 【详解】 解：当时，，∴； 当时，，∴（舍去）． ∴． 故选：A． 5．（2021·全国）若3x＝2，则x等于（ ） A．log23 B．log32 C．32 D．23 【答案】B 【详解】 ，. 故选：B. 6．（2021·陕西省黄陵县中学高一期末）已知，则x等于（ ） A． B．4 C．16 D．2 【答案】C 【详解】 由对数与指数式运算可得. 故选：C. 7．（2021·全国）以下对数式中，与指数式等价的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 根据指数式和对数式的关系，等价于. 故选：A. 8．（2021·全国）已知且，，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】 由指对数的互化公式，因为，所以. 故选：B. 9．（2021·吉林延边二中高二月考（文））已知函数，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】 ∵， ∴. 故选：B. 10．（2021·长丰县凤麟中学高二期中（文））等于（ ） A． B． C．4 D．5 【答案】C 【详解】 故选：C 11．（2021·太原市第五十六中学校高二月考（文））下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 对于A：，故A不正确； 对于B：，故B不正确； 对于C：∵,∴，故C正确， 对于D：，故D不正确， 故选： C. 12．（2021·普宁市第二中学高三月考）已知函数，则（ ） A． B．1 C． D．0 【答案】C 【详解】 ． 故选：C. 13．（2021·全国高一专题练习）（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 . 故选：C. 14．（2021·长丰北城衡安学校高二月考（理））若函数．则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 ，则，因此，. 故选：A. 15．（2021·北京大兴区·高一期末）等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 . 故选：B. 16．（2021·定远县育才学校高一期末）式子的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 . 故选：A. 17．（2021·盐城市伍佑中学高三开学考试）已知，则等于（ ） A．1 B．2 C．5 D．10 【答案】A 【详解】 因为，所以，， 所以，， 所以. 故选：A