第09讲 指数与指数函数-【高考艺术生专用】2022年高考数学一轮复习讲义（解析版）（基础版，全国通用版）

第09讲 指数与指数函数 1、根式 （1）次方根的概念与性质 次 方 根 概念 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，. 性质 ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成.负数没有偶次方根. ③0的任何次方根都为0，记作. （2）根式的概念与性质 根 式 概念 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数. 性质 ①. ②当为奇数时，. ③当为偶数时，. 2、实数指数幂 （1）分数指数幂 ①我们规定正数的正分数指数幂的意义是. 于是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式. ②正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定且 . ③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. （2）有理数指数幂 规定了分数指数幂的意义之后，指数的概念就从整数指数幂推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数，均有下面的运算性质： ①； ②； ③. （3）无理数指数幂 对于无理数指数幂，我们可以从有理数指数幂来理解，由于无理数是无限不循环小数，因此可以取无理数的不足近似值和过剩近似值来无限逼近它，最后我们也可得出无理数指数幂是一个确定的实数. 一般地，无理数指数幂是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂. 3、指数函数的概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是. 【注】指数函数的结构特征： (1)底数：大于零且不等于1的常数； (2)指数：仅有自变量x； (3)系数：ax的系数是1. 4、指数函数的图象与性质 图象 定义域 值域 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 函数y=a−x与y=ax的图象关于y轴对称 过定点 过定点，即时， 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化情况 当时，； 当时， 当时，； 当时， 底数对图象的影响 指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中0<c<d<1<a<b. ①在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； ②在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小. 即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大. 考点一 指数与指数幂运算 1．（2021·湖南省邵东市第三中学高一月考）下列运算中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 对于A，所以，故A错； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错； 对于D，，故D错. 故选：B. 2．（2021·全国）设a>0，b>0，化简的结果是（ ） A． B． C． D．-3a 【答案】D 【详解】 因为，，所以. 故选：D. 3．（2021·上海）在①，②，③，④中，n∈N*，a∈R时各式子有意义的是（ ） A．①② B．①③ C．②③④ D．①②④ 【答案】B 【详解】 由>0知①有意义；由<0知②无意义；③中开奇数次方根，所以有意义；当a<0时，a5<0，此时④无意义. 故选:B. 4．（2021·全国）计算：（ ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【详解】 原式. 故选：D 5．（2021·全国）设，将表示成分数指数幂的形式，其结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 解：因为，所以 故选：C 6．（2021·全国）可以化简成（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 解：， 故选：B． 7．（2021·全国高一专题练习）计算的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 故选：C 8．（2021·全国）=（ ） A．2 B．1 C．3 D．0 【答案】B 【详解】 解： 故选：B 9．（2021·全国）设都是正整数，且，若，则不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 由都是正整数，且，，、 得， 故B选项错误， 故选：B. 10．（2021·全国）已知正数满足，则（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【详解】 因为正数满足， 所以，即，则， 所以，即，因此. 故选：B. 考点二 指数函数的概念 1．（2021·全国高一单元测试）指数函数的图象经过点，则a的值是（ ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【详解】 因为的图象经过点， 所以，解得， 故选：B. 2．（2021·上海高一专题练习）下列是指数函数的是（ ） A．