第07讲 函数的奇偶性与周期性-【高考艺术生专用】2022年高考数学一轮复习讲义（基础版，全国通用版）

第07讲 函数的奇偶性与周期性 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果函数的定义域内任意一个 都有，那么函数是偶函数 关于对称 奇函数 如果函数的定义域内任意一个 都有，那么函数是奇函数 关于原点对称 2.奇偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． (2)在公共定义域内 (ⅰ)两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数. (ⅱ)两个偶函数的和函数、积函数是偶函数. (ⅲ)一个奇函数与一个偶函数的积函数是奇函数. (3)若是奇函数且处有意义，则. 3．函数的周期性 (1)周期函数：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期． (3)常见结论：若，则；若，则；若，则. 考点一：判断函数的奇偶性 1．（2021·全国高一专题练习）判断下列函数的奇偶性： （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）偶函数；（2）非奇非偶函数；（3）偶函数；（4）奇函数. 【详解】 解：（1）函数的定义域为， ，所以函数为偶函数； （2）函数的定义域为， ，则且， 所以函数为非奇非偶函数； （3）定义域为R，， 为偶函数； （4）定义域为R，， 为奇函数. 2．（2020·云南砚山县第三高级中学高一期中）判断下列函数的奇偶性． （1）； （2）； 【答案】（1）偶函数；（2）非奇非偶函数. 【详解】 （1）因为定义域为： 所以定义域关于原点对称， 又因为，所以函数f（x）是偶函数； （2）因为定义域为R，关于原点对称 又因为，则，， 所以是非奇非偶函数； 3．（2020·和平区·天津市第二南开中学）判断下列函数的奇偶性： （1）； （2）． 【答案】（1）函数为奇函数；（2）是偶函数. 【详解】 （1）对于函数，其定义域为，关于原点对称； 又， 所以函数为奇函数； （2）因为，所以，解得， 即函数的定义域为，关于原点对称， 又， 所以函数是偶函数. 4．（2021·全国）判断下列函数的奇偶性: (1); (2). 【答案】(1)偶函数.(2)奇函数. 【详解】 解:(1)函数的定义域为R, ∵对定义域内的每一个x,都有,为偶函数. (2)函数的定义域为R,∵对定义域内的每一个x,都有, 为奇函数. 考点二：函数奇偶性的应用 1．（2021·长春市基础教育研究中心（长春市基础教育质量监测中心）高三（文））已知函数，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 ，所以. 故选：D. 2．（2021·山东高考真题）已知函数是奇函数，当时，，那么的值是（ ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【详解】 函数是奇函数，当时，， . 故选：A. 3．（2021·河北高三月考）已知是奇函数，当时，，则（ ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【详解】 由题意，. 故选：D. 4．（2021·金寨县青山中学高三开学考试）若为奇函数，则的值为（ ） A．0 B．-1 C．1 D．2 【答案】C 【详解】 ∵为R上的奇函数， ∴得a=1.验证满足题意. 故选：C 5．（2021·沙坪坝·重庆八中高三月考）若函数的定义域为R，且函数是偶函数，函数是奇函数，则（ ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【详解】 因为函数是偶函数， 所以，即①， 因为函数是奇函数， 所以，即②， 由①②可得：， 故选：A. 6．（2021·河北区·天津二中高三月考）已知函数为奇函数，当时，，则（ ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【详解】 由题设知：. 故选：B 7．（2021·全国高三专题练习（文））设是定义在上周期为2的奇函数，当时，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 因为是定义在上周期为2的奇函数， 所以， 又当时，， 所以. 故选：C. 8．（2021·北京市陈经纶中学）已知是定义在上的偶函数，那么的值是（ ） A．－ B． C．－ D． 【答案】B 【详解】 ∵在[a - 1，2a]上是偶函数 ∴有：b＝0，且a－1＝－2a ∴a＝ ∴a＋b＝ 故选：B 9．（2021·林芝市第二高级中学高三月考（理））已知函数，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 函数的定义域为，， 函数为奇函数，则. 故选：B. 10．（2021·江苏省镇江中学高三开学考试）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则等于 A． B． C． D． 【答案