专题2 等差数列与等比数列-学会解题之高三数学321训练体系【2022版】

第六章 数列 专题2 等差数列与等比数列 【三年高考精选】 1.（2020年新课标Ⅱ）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ） A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块 【答案】C 【分析】设第n环天石心块数为，第一层共有n环， 则是以9为首项，9为公差的等差数列，， 设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分 别为，因为下层比中层多729块， 所以， 即 即，解得， 所以. 故选：C 2.（2019年新课标Ⅲ）已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则 A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】C 【分析】设正数的等比数列{an}的公比为，则， 解得，，故选C． 3.（2021年全国高考甲卷）已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列是等差数列：②数列是等差数列；③． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】答案见解析 【分析】选①②作条件证明③： 设，则， 当时，； 当时，； 因为也是等差数列，所以，解得； 所以，所以. 选①③作条件证明②： 因为，是等差数列， 所以公差， 所以，即， 因为， 所以是等差数列. 选②③作条件证明①： 设，则， 当时，； 当时，； 因为，所以，解得或； 当时，，当时，满足等差数列的定义，此时为等差数列； 当时，，不合题意，舍去. 综上可知为等差数列. 【三年高考刨析】 试题来源 考查考点 数学素养 解题关键 2020年新课标Ⅱ 等差数列的性质 数学运算 熟练掌握等差数列的性质 2019年新课标Ⅲ 等比数列的性质 数学运算 熟练掌握等比数列的性质 2021年全国高考甲卷 等差数列的性质、判定 数学运算 熟练掌握等差数列的判定与性质 命题 规律 总结 纵观前三年各地高考试题，等差数列、等比数列的性质仍是每年高考考试的必考的, 题型为解答题的第一问，选择题或填空题中等差数列、等比数列的性质（数学文化题），难度中等. 【2022年高考预测】 预测2022年高考考查等差数列、等比数列的性质，或与等差数列、等比数列的性质有关的数学文化题. 【2022年复习指引】 由前三年的高考命题形式，复习等差数列、等比数列应注意一下几点： 1．掌握等差数列、等比数列的定义与性质、通项公式、前n项和公式等． 2．掌握等差数列、等比数列的判断方法，求和的方法． 3.紧扣等比数列的定义，掌握其通项公式和前n项和公式，求和时要注意验证公比q是否为1；对等比数列的性质应用要灵活，运算中要注意方程思想的应用． 【2022年考点定位】 考点1 等差数列基本量的计算 【例1】（河北省沧州市普通高中2022届高三上学期9月教学质量监测）已知正项等差数列满足，，则___________. 【答案】9 【分析】 设出等差数列的公差，根据给定条件列出方程组求解即可作答. 【详解】 设等差数列的公差为，而是正项数列，则， 因，则，整理得，而， 解得，，则有， 所以. 故答案为：9 【规律方法技巧】等差数列的通项公式及前n项和公式中，共涉及五个量，知三可求二，如果已知两个条件，就可以列出方程组解之．如果利用等差数列的性质、几何意义去考虑也可以．体现了用方程思想解决问题的方法． 【考点针对训练】记等差数列的前项和为，若，则的公差为（ ） A．3 B．2 C．－2 D．－3 【答案】A 【分析】 设等差数列的公差为，将条件转化为和表示，得到方程组，解得的值. 【详解】 解：设等差数列的公差为， 因为，，所以， 解得：. 故选：A. 考点2 等比数列基本量的计算 【例2】（江西省临川一中、临川一中实验学校2022届高三第一次月考）已知为等比数列，，则 (　　) A．7 B．5 C．－5 D．－7 【答案】D 【解析】 【分析】 通解：利用等比数列的性质列出方程，解方程得到和，即可得到答案； 优解：利用等比数列的通项公式列出方程，解方程得到和，即可得到答案 【详解】 设等比数列的公比为， 通解：由，解得或∴或， ∴， 优解：由题意得∴或， ∴， 故答案选D. 【规律方法技巧】等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解． 【考点针对训练】（广西柳州铁一中学2022 届“韬智杯”高三上学期大联考）已知正项等比数列中，公比，前项和为，若，，则（ ）