专题13 立体几何与空间向量（解答题）--《2022届新高考（全国I卷）地区优质数学试卷分项解析》

专题13 立体几何与空间向量（解答题） 22．（2021·山东潍坊·高三月考）如图1五边形中，，将沿折到的位置，得到如图2所示的四棱锥，点为线段的中点，且平面. （1）求证:平面; （2）求证:平面; （3）若直线与所成角的正切值为，求二面角的余弦值. 23．（2021·广东高三月考）如图所示，矩形所在平面与直角梯形所在平面垂直，点是边上一点，，，，，. （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 24．（2021·广东禅城·佛山一中）如图，在三棱锥中，，，、分别是线段、的中点，，，二面角的大小为． （1）证明：平面平面； （2）求直线和平面所成角的正弦值． 25．（2021·深圳市第七高级中学高三月考）如图，在四棱锥中，，底面四边形为直角梯形，，，，M为线段PB上一点. （1）若，则在线段PB上是否存在点M，使得平面PCD？若存在，请确定M点的位置；若不存在，请说明理由. （2）已知，，若异面直线PA与CD成角，二面角的余弦值为，求CD的长. 26．（2021·广东广州·高三月考）如图，在四棱锥中，平面，，为的中点，分别在和上，且． （1）若在上，且平面，求证：平面; （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值． 27．（2021·临澧县第一中学高三月考）如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，，点E是上的点，且 （1）求证：对任意的，都有 （2）设二面角C—AE—D的大小为，直线BE与平面ABCD所成的角为，若，求的值 28．（2021·永州市第一中学高三月考）在三棱锥中，平面，平面平面． （1）证明：平面； （2）若为的中点，且，，求二面角的余弦值． 29．（2021·岳麓·湖南师大附中）如图，已知为等边三角形，D，E分别为，边的中点，把沿折起，使点A到达点P，平面平面，若. （1）求与平面所成角的正弦值； （2）求直线到平面的距离. 30．（2021·湖北高三月考）如图，在三棱锥中，平面，，与的长度之和为6米，，现要给三棱锥的侧面刷油漆，每平方米需要0.5升油漆，油漆价格为60元/升. （1）设米，三棱锥的侧面共需要油漆升，试写出关于的函数表达式； （2）刷油漆需要请油漆工来完成，工费按照每平方米10元计算，若油漆工工费及油漆费用的总预算为400元，试问最后油漆工工费及油漆费用是否有可能会超预算？说明你的理由. 31．（2021·湖北襄城·襄阳五中高三月考）如图，正方形所在平面与等边所在平面互相垂直，设平面与平面相交于直线． （1）求与所成角的大小； （2）求二面角的正弦值． 32．（2021·山东潍坊·高三月考）如图，在长方体中，点分别在棱上，且，. （1）证明:在同一个平面上; （2）设直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为，判断与的大小关系，并说明理由. 33．（2021·山东广饶一中高三月考）如图，在四棱台中，底面为矩形，平面平面 ，且. （1）证明：平面 ； （2）若与平面 所成角为，求点到平面的距离. 34．（2021·山东广饶一中高三月考）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，点是的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的大小. 35．（2021·江苏海安高级中学）已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD =2AB，PA⊥平面ABCD，E为线段BC上一点.且平面PDE将四棱锥P - ABCD分成体积比为3：1的两部分. （1）求证：平面PDE⊥平面PAE； （2）若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角的大小. 36．（2021·江苏姑苏·苏州中学高三月考）如图，在四棱锥中，平面，，，. （1）求证：平面平面； （2）若点M为的中点，点N为线段上一动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 37．（2021·江苏鼓楼·金陵中学高三月考）如图所示，在四棱锥中，平面，，，，为的中点． （1）求证平面； （2）若点为的中点，线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，请确定的位置；若不存在，请说明理由． 38．（2021·江苏扬州·高三月考）如图，在直三棱柱中，，，M为的中点. （1）记平面与平面的交线为l，证明：； （2）求二面角的正弦值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $ 专题13 立体几何与空间向量（解答题） 22．（2021·山东潍坊·高三月考）如图1五边形中，，将沿折到的位置，得到如图2所示的四棱锥，点为线段的中点，且平面. （1）求证:平面; （2）求证:平面; （3）若直线与所成角的正切值为，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）. 【分析】 （1）取的中点，连接证明再由线面平行的判定定理即可证明. （2）由（1）证出，再由线面垂直的判定定理即可证明. （3）取的