专题2.1 基本不等式的应用技巧-《聚能闯关》2021-2022学年高一数学提优闯关训练（人教A版2019必修第一册）

专题2.1 基本不等式的应用技巧 闯关技巧 在解答基本不等式的问题时，常常会用加项、凑项、常数的代换、代换换元等技巧，而且在通常情况下往往会考查这些知识的嵌套使用． 一、加项变换 例1　已知关于x的不等式x＋≥7在x>a上恒成立，则实数a的最小值为________． 二、平方后使用基本不等式 例2　若x>0，y>0，且2x2＋＝8，则x的最大值为________． 三、展开后求最值 例3　若a，b是正数，则的最小值为(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 四、常数代换法求最值 例4　已知x，y是正数且x＋y＝1，则＋的最小值为(　　) A. B. C．2 D．3 五、代换减元求最值 例5　若实数x，y满足xy＋3x＝3，则＋的最小值为________． 六、建立求解目标不等式求最值 例6　已知a，b是正数，且(a＋b)(a＋2b)＋a＋b＝9，则3a＋4b的最小值等于________． 例7　已知a>0，b>0，且a＋b＋＋＝5，则a＋b的取值范围是(　　) 闯关训练 一、单选题 1．已知实数､满足，有结论：①存在，，使得取到最大值；②存在，，使得取到最小值；正确的判断是（ ） A．①成立，②成立 B．①不成立，②不成立 C．①成立，②不成立 D．①不成立，②成立 2．已知，且，则的最小值为（ ） A．9 B．10 C．11 D． 3．已知a，b∈R，a+b＝2.则的最大值为（　　） A．1 B． C． D．2 4．已知正实数满足，则的最小值为（ ） A．10 B．11 C．13 D．21 5．已知ab，a，b∈（0，1），则的最小值为 A．4 B．.6 C． D．. 6．正数a,b满足,若不等式对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围是 A． B． C． D． 二、填空题 7．设则的最小值为________ 8．若不等式对一切正实数恒成立，则实数的最小值为______． 9．是不同时为0的实数，则的最大值为________． 10．已知，，且，则的最小值为_______． 11．若则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是___________.（写出所有正确命题的序号） ①；②；③；④；⑤. 12．若，，则的最小值为___________. 13．若，，则的最小值为__________． 14．正数满足，若对任意正数恒成立，则实数x的取值范围是___________ 15．已知正实数，满足，则的最小值是______． 16．若正实数、满足，则的最大值是______. 17．已知，，，则的最小值为___________. 18．已知正实数满足则的最小值为_______________. 三、解答题 19．有一种变压器铁芯的截面是如图所示的正十字形，为保证磁通量的稳定性，要求十字形铁芯的面积为．为节约成本，需使用来绕铁芯的铜线最省，即正十字形外接圆周长最短．问当正十字形的长和宽为多少厘米时，正十字形外接圆周长最短，最短是多少厘米？ 20．某天数学课上，老师介绍了基本不等式的推广：.小明由此得到启发，在求，的最小值时，小明给出的解法是：，当且仅当时，取到最小值-2. （1）请你模仿小明的解法，研究，上的最小值； （2）求出当时，，的最小值. 21．生命在于运动，运动在于锻炼.其中，游泳就是一个非常好的锻炼方式.游泳有众多好处：强.身健体；保障生命安全；增强心肺功能；锻炼意志，培养勇敢顽强精神；休闲娱乐，促进身心健康.近几年，游泳池成了新小区建设的标配.家门口的“游泳池”，成了市民休闲娱乐的好去处.如图，某小区规划一个深度为，底面积为的矩形游泳池，按规划要求：在游泳池的四周安排宽的休闲区，休闲区造价为元，游泳池的底面与墙面铺设瓷砖，瓷砖造价为元.其他设施等支出大约为万元，设游泳池的长为. （1）试将总造价（元）表示为长度的函数； （2）当取何值时，总造价最低，并求出最低总造价. 22．为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米. （1）若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值； （2）若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值. 23．一个圆心为的半圆形如图所示，、在半圆弧上，，与交于点，且. （1）设，，求关于的函数关系式； （2）求面积的最大值： 24．如图所示，某市现有自市中心通往正西和东北方向的两条主要公路，为了解决该交通拥挤问题，市政府决定修建一条环城公路，分别在通往正西和东北方向的公路上选取、两点，使环城公路在、间为直线，要求路段与市中心的距离为，且使、间的距离最小，请你确定、两点的最佳位置（不