专题1 数列的通项公式与求和-学会解题之高三数学321训练体系【2022版】

第六章 数列 专题1 数列的通项公式与求和 【三年高考精选】 1.（2020年新课标Ⅰ）数列满足，前16项和为540，则 _________. 【答案】 【分析】， 当为奇数时，；当为偶数时，. 设数列的前项和为， ， . 故答案为：. 2.（2021年全国高考乙卷数学试题）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． （1）证明：数列是等差数列; （2）求的通项公式． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）由已知得,且，, 取,由得, 由于为数列的前n项积， 所以, 所以， 所以, 由于 所以，即,其中 所以数列是以为首项，以为公差等差数列; （2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列， , , 当n=1时，, 当n≥2时,,显然对于n=1不成立, ∴. 3.（2020年新课标Ⅰ）设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项． （1）求的公比； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）设的公比为，为的等差中项， ， ； （2）设的前项和为，， ，① ，② ①②得， ， . 【三年高考刨析】 试题来源 考查考点 数学素养 解题关键 2020年新课标Ⅰ 递推公式，求和 逻辑推理，数学运算 弄清递推公式的意义，注意对分类讨论 2021年全国高考乙卷数学试题 等差数列判定与性质，与的关系 逻辑推理，数学运算 掌握等差数列、等比数列的性质，会用与的关系求 2020年新课标Ⅰ 等差数列、等比数列的性质，错位相减求和 逻辑推理，数学运算 掌握等差数列、等比数列的性质，会用错位相减法求数列的前项和 命题 规律 总结 纵观前三年各地高考试题，数列求和仍是每年高考考试的解答题必考的, 主要涉及数列的递推公式、等常数列、等比数列的性质. 分组求和法、裂项相消求和法、错位相减求和法是解答题第二问的重要考点.难度中等. 【2022年高考预测】 预测2022年高考考查等差数列、等比数列的性质，裂项相消法求和，题型为结构不良题. 【2022年复习指引】 由前三年的高考命题形式，复习数列的通项公式与求和应注意以下几点： （1）熟练掌握求解数列通项公式的基本方法，尤其是已知递推关系求通项这种基本的方法，另外注意累加法、累积法的灵活应用．掌握常见的由递推式求通项an的方法： ①an＋1－an＝f(n)型，采用叠加法； ②＝f(n)型，采用叠乘法； ③an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)型，采用待定系数法转化为等比数列解决． （2）数量掌握数列求和的常用方法 ①倒序相加法：如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的． ②错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的． ③裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． ④分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和后再相加减． ⑤并项求和法：一个数列的前n项和，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 【2022年考点定位】 考点1 与的关系 【例1】在数列中，，且前n项和满足，则数列的通项公式为________． 【答案】 【分析】 利用与的关系可求得数列为等差数列，再利用等差数列的通项公式即可求解 【详解】 当时，，解得； 当时，由， 得， 两式相减得 ， 即， 整理得， 因为，所以，即， 又，故数列是首项为1，公差为2的等差数列， 所以. 故答案为： 【规律方法技巧】Sn与an关系问题的求解思路 根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化． ①利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解； ②利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．　 【考点针对训练】（湖北省新高考联考协作体2021-2022学年高三上学期新起点考试）已知数列的首项，其前项和为，若，则__________． 【答案】96 【分析】 由题意易得，两式相减可得数列从第二项开始成等比数列，进而可得结果. 【详解】 因为，所以， 两式相减得， 又因为，，得， 所以数列从第二项开始成等比数列， 因此其通项公式为， 所以， 故答案为：96. 考点2 由递推公式求通项 【例2】（河南省顶级名校2021-2022学年高三上学期9月开学联考）若数列满足：，则数列的通项公式为（ ） A． B． C． D