2.3.2 双曲线简单的几何性质(一)-四川省成都市第七中学2021-2022学年人教版数学选修2-1同步课件

2.3.2双曲线简单的几何性质（一） 新课标·人教版 选修2-1 第二章 《圆锥曲线与方程》 复习引入 1. 双曲线的定义： 这两个定点叫做双曲线的焦点. 两焦点的距离叫做双曲线的焦距. 我们把平面内与两个定点F1、F2的 距离的差的绝对值等于常数(小于| F1F2 |)的点的轨迹叫做双曲线. 新课讲授 2. 双曲线的标准方程： c2＝a2＋b2 y F1 F2 O x y F1 x O F2 是F1(－c, 0)、F2(c, 0). 焦点在x轴上，焦点 是F1(0, －c)、F2(0, c). 焦点在y轴上，焦点 (a＞0,b＞0) (a＞0,b＞0) 复习引入 (±a, 0) (0, ±b) 图形关于x 轴、y轴、 原点对称 范围 对称性 顶点 离心率 3. 椭圆的简单几何性质： x (a＞b＞0) O F1 A2 -a b F2 B1 -b y B2 A1 a 新课讲授 利用双曲线的标准方程研究双曲线的 几何性质 以 为例． (a＞0，b＞0) 新课讲授 1．范围 a －a y O x F1 F2 双曲线上点 (x, y)都满足 即 x2≥a2， x≥a与x≤－a所表示的区域内． ∴ |x|≥a (a＞0)． 双曲线在不等式 新课讲授 y O x F1 F2 2．对称性 双曲线关于y轴、x轴、原点都是对称的． 坐标轴是双曲线的对称轴． 原点是双曲线的对称中心． 双曲线的对称中心叫做 双曲线的中心． 新课讲授 3．顶点 令y＝0，得x＝±a，∴双曲线和x轴 有两个交点A1(－a, 0)、A2(a, 0) . 令x＝0，得y2＝－b2， 这个方程没有实数根， 则双曲线和y轴无交点. 双曲线和它的对称轴 有两个交点，它们叫做双 曲线的顶点． 特殊点B1(0,－b)、B2(0, b). y O x A1 A2 F1 F2 y=b y=-b B2 B1 新课讲授 3．顶点 实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线. y O x A1 A2 F1 F2 B2 B1 a叫做双曲线的实半轴长． b叫做双曲线的虚半轴长． 线段A1A2 叫做双曲线的实轴． 线段B1B2叫做双曲线的虚轴. 实轴的长等于2a． 虚轴的长等于2b． 新课讲授 4．渐近线 经过A2、A1作y轴的平行线 x＝±a， 经过B2、B1作x 轴的平行线y＝±b，四 条直线围成一个矩形 (如图)． y O x A1 A2 B2 B1 F1 F2 a b 两条直线 的渐近线. 叫做双曲线 新课讲授 4．渐近线 (a＞0, b＞0)的渐近线为 y O x A1 A2 B2 B1 a b 新课讲授 4．渐近线 这时双曲线方程为x2－y2＝a2，渐近线方程为x＝±y，它们互相垂直，并 且平分双曲线实轴和虚轴所成的角． a＝b时，实轴和虚轴等长，这样的 双曲线叫做等轴双曲线. 新课讲授 4．渐近线 利用渐近线画双曲线草图 ⑴ 画出双曲线的渐近线； ⑵ 画出双曲线的顶点、第一象限内双曲 线的大致图象； ⑶ 利用双曲线的对称性画出完整双曲线. 新课讲授 5．离心率（刻画双曲线的开口程度） ， 双曲线的焦距与实轴长的比 叫做双曲线的离心率． ∵ c ＞a＞0， ∴e＞1． 新课讲授 5．离心率 双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔. 由此可知，双曲线的离心率越大，它 的开口就越阔． 例6.双曲线型自然通风塔的外形,是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面,它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m,高55m,选择适当的坐标系,求出双曲线方程. C/ B/ A/ O A B C y x 13 12 25 课堂小结 范围、对称性、顶点、实轴和虚轴、 2. 双曲线草图的画法. 离心率 e＞1． 双曲线的离心率越大，它的开口就越阔． ； 1. 双曲线的几何性质： 渐近线方程 作业布置 完成《活页》P32 $