第四章 指数函数与对数函数 专题1 指数型复合函数的单调性的判断--2021-2022学年“高人一筹”之高一数学“痛点”大揭秘（人教A版2019必修第一册）

第4章 指数函数与对数函数 专题1 指数型复合函数的单调性的判断 复合函数单调性的规律:若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．即“同增异减”．利用复合函数法求解函数单调区间的基本步骤如下：（1）求出原函数的定义域； （2）将原函数分解为内层函数和外层函数； （3）分析内层函数和外层函数的单调性； （4）利用复合函数法“同增异减”可得出结论. 【题型导图】 类型一 指数型函数单调性的判断 例1：（2021·全国高一课时练习）函数y＝ 的单调递减区间为（ ） A．（－∞，0] B．[0，＋∞） C．（－∞， ] D．[ ，＋∞） 【答案】B 【详解】 解:函数y＝ u在R上为减函数， 欲求函数y＝ 的单调递减区间，只需求函数u＝x2－2的单调递增区间， 而函数u＝x2－2的单调递增区间为[0，＋∞）， 故所求单调递减区间为[0，＋∞）. 故选:B 【变式1】（2021·浙江杭州市·高一期中）设函数 ，则函数 的单调性（ ） A．与a有关，且与b有关 B．与a无关，且与b有关 C．与a有关，且与b无关 D．与a无关，且与b无关 【答案】D 【详解】 因为函数 ， 所以当 时， 单调递增.当 时， 单调递增. 则 且 ， ， 的单调性都为单调递增. 所以函数 的单调性与 无关. 故选：D 【变式2】函数 的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 因为函数 的单调递增区间为 ， 所以根据复合函数单调性可知， 的单调递增区间为 故选：A 【变式3】（2021·江西景德镇市·景德镇一中高一期末）函数 （ ）的单调递减区间为______． 【答案】 【详解】 对于 （ ），令 ，则 因为 在R上单增， 所以要求 （ ）的单调递减区间， 只需 ，解得： ， 所以函数 （ ）的单调递减区间为 . 故答案为： 【痛点直击】解决指数型复合函数的单调性问题，要先判断此复合函数是由指数函数与什么函数复合而成的复合函数，进而判断两个基本初等函数的单调性，利用复合函数的“同增异减”来判断复合函数的单调性。 类型二 由指数型复合函数的单调性求参数问题 例2.（2021·全国高一课时练习）若函数 ( 且 )在区间 上单调递增，则实数 的取值范围为____． 【答案】 【详解】 内函数为二次函数 ，在区间 单调递减，在区间 单调递增 当 时，外函数单调递减，所以 在 上单调递增，在 上单调递减， 因为函数 在 上单调递增，所以 无解﹔ 当 时，外函数单调递增，所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 因为函数 在 上单调递增，所以 解得 ． 综上，实数 的取值范围为 ． 【变式1】（2021·上海高一期末）已知函数 在区间 上是严格增函数，则实数 的取值范围为______. 【答案】 【详解】 因为函数 的对称轴为 ， 所以函数 在 上是增函数； 又函数 在 上是增函数，所以 ． 故答案为： . 【变式2】（2021·重庆）函数 在区间 内递增，则a的取值范围是_____________. 【答案】 【详解】 因函数 在R上单调递增，而复合函数 在区间 内递增， 所以函数 在区间 内递增，又二次函数 的单调递增区间是 ， 则有 ，即 . 故答案为： 【变式3】已知函数 在 上单调递减，则 的取值范围为___________． 【答案】 【详解】 令 ， 则 ， 因为 为R上增函数， 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增， 因为函数 在 上单调递减， 所以 ， 即 . 故答案为： 【痛点直击】 由指数型复合函数的单调性求参数问题，应准确判断函数的单调性，利用单调性解决参数的取值问题。 【限时训练】 1．函数 （ 为自然对数的底）的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 在 上递减，在 上递增， 又 是减函数， ∴所求增区间是 ． 故选：A． 2．函数 的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 令 可得 或 ， 所以函数 的定义域为 或 ， 因为函数 在 上单调递减， 所以函数 在 上单调递减， 又函数 在R上单调递减， 所以函数 的单调递增区间为 . 故选：A. 3．函数 的单调减区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 令 ，即 ，解得函数定义域为 单调递增， 在 上单调递增，在 上单调递减 EMBED Equation.DSMT4 的单调减区间为 故选：D 4．（2021·上海市建平中学高一期末）函数 的单调递增区间为________． 【答案】 【详解】 定义域为 ，由题意，设 ，则函数 的对称轴为 ，单调