专题17三角函数与解三角形第四缉-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)

备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021) 专题17三角函数与解三角形第四缉 1．【2016年新疆预赛】函数的最大值为______. 【答案】 【解析】 依题意知 . 又，故当时，取得最大值. 2．【2016年新疆预赛】设的对边分别为，且满足. 则______. 【答案】9 【解析】 由余弦定理得 . 从而，由正弦定理得 . 3．【2016年四川预赛】若实数构成以2为公比的等比数列，sinα、sinβ、sinγ构成等比数列，则cosa=_____. 【答案】 【解析】 设. 由 或1. 若，则（舍去）. 从而，. 4．【2016年江西预赛】如图,P为正方形ABCD内切圆上的一点,记则 ______. 【答案】8 【解析】 如图,建立直角坐标系. 设圆方程为 则正方形顶点坐标分别为 若,则直线PA、PB、PC、PD的斜率分别为, , , . 故 因此. 5．【2016年江西预赛】设x为锐角.则函数的最大值为______. 【答案】 【解析】 由 当时,以上各式等号成立. 6．【2016年湖南预赛】方程的解集为______. 【答案】. 【解析】 当时， ，当且仅当时，上式等号成立. 又， ① 当且仅当时，式①等号成立. 于是，当时，方程只有解. 由奇函数的性质，知为另一解. 故方程的解集为. 7．【2016年甘肃预赛】已知函数,若函数在区间内单调递增,且函数的图像关于直线对称,则的值为 ． 【答案】 【解析】由在区间内单调递增,且的图像关于直线对称,可得,且,所以 考点:本题主要考查三角函数的性质. 视频 8．【2016高中数学联赛（第01试）】设函数，其中k是一个正整数.若对任意实数a，均有，则k的最小值为 . 【答案】16 【解析】由条件知， ， 其中当且仅当时，f(x)取到最大值. 根据条件知，任意一个长为1的开区间(a，a+1)至少包含一个最大值点， 从而，即k>5π. 反之，当k>5π时，任意一个开区间(a，a+1)均包含f(x)的一个完整周期， 此时成立. 综上可知，正整数k的最小值为. 9．【2015年全国】若，则__________． 【答案】2 【解析】由有，而，求出（负值舍去），所以。 10．【2015年全国】设为正实数.若存在，使得，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 由. 而，故已知条件等价于：存在整数，使得 . ① 当时，区间的长度不小于，故必存在满足式①. 当时，注意到，. 故只要考虑如下几种情形： （1），此时，，且，无解； （2），此时，； （3），此时，. 综上，并注意到也满足条件，知. 故答案为： 11．【2015年浙江预赛】若，则______. 【答案】 【解析】 设. 则. 代入原方程得或8. 解得. 从而，. 12．【2015年上海预赛】已知，其中，.则的取值范围是 ________. 【答案】 【解析】 注意到， . 由为R上的增函数，知原不等式等价于 13．【2015年上海预赛】有一个单摆，在夏季摆的周期T = 1秒，到了冬季，摆长缩短了0.01厘米.在冬季这只单摆在24小时中比在冬季大约快 ______秒（精确到1秒）.注：单摆周期公式为，其中，周期T的单位为秒，摆长l的单位为厘米，重力加速度g = 980厘米/秒2. 【答案】17 【解析】 将T = 1秒代入公式得 夏季摆长厘米， 冬季摆长厘米， 冬季摆的周期秒. 故24小时内冬季摆比夏季的快约为秒 14．【2015年新疆预赛】已知n为正整数.则这三个数能构成_____个不同的三角形. 【答案】5 【解析】 由三角不等式得 ， . 则. 由n为整数，知也为整数. 故. 于是，n的取值可以为. 注意到，函数 的图像关于对称. 故. 从而，只能取到五个不同的值. 因此，这三个数能构成5个不同的三角形. 15．【2015年新疆预赛】已知均为锐角，且.则________. 【答案】 【解析】 由已知得 . 因为，所以，. 16．【2015年四川预赛】设，则的值为________。 【答案】 【解析】 由，得；① 由，得② 设.则. 故在R上单调递增且为奇函数. 由式①、②得 . 17．【2015年安徽预赛】设为实数，且关于的方程有实根.则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 设. 方程有实根 双曲线与圆有公共交点. 注意到，圆心位于直线之上，只需找到圆与双曲线相切时圆心的位置即可. 当圆与双曲线切于点时，. 当圆与双曲线切于点时，. 因此，的取值范围是. 18．【2015年陕西预赛】已知.则的值为______. 【答案】0 【解析】 将已知两式平方相加得: . 19．【2015年陕西预赛】在中，若，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 由题设知