专题10 圆的综合问题-【B卷必考】2021-2022学年九年级数学下册压轴题攻略（北师大版，成都专用）

专题10 圆的综合问题 类型一、圆与三角函数综合 例1.．如图，在中，平分交于点为上一点，经过点的分别交于点，连接． （1）求证：是的切线；（2）求证：；（3）若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）． 【解析】（1）证明：如图，连接，则．． 是的平分线，．． ．．是的切线． （2）证明：如图，连接．是的直径，． ．又，． ，∴．．即． （3）解：， ． ．．又，． 由（2）知，．． 【变式训练1】如图，在⊙中，是直径，，垂足为P，过点的的切线与的延长线交于点, 连接． （1）求证：为⊙的切线； （2）若⊙半径为3，，求． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）证：连接、 ∵为的切线∴ ∵是直径，∴， 又∵，∴，∴， 又∵，∴，∴，∴为⊙的切线； （2）过点作于点，如下图： 由（1）得 在中，，，∴ ∴（等面积法），∴ 设，则，在和中， ， ∴，解得， ∴ 【变式训练2】如图，是矩形的外接圆，的平分线分别交的延长线于点，过点作的切线，交于点． （1）证明：． （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】（1）连接，如图1， 是切线，， 在矩形中，，平分， ，，； （2）如图2，作于点，作于点，则四边形是矩形， ， ，，设，则．， ，，，， ，，，， ． 【变式训练3】如图，在中，为的直径，弦，垂足在半径上．若劣弧沿着直线翻折，点落在上的点处（点不与点重合），连结． （1）求证：． （2）延长交于点，连结，若，求的正弦值． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】（1）证明：连接CO， 由翻折可知∠ECH=∠BCH， ∵OA=OC,∴∠CAO=∠ACO， ∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BCH+∠ACH=90°， ∵CD⊥AB，∴∠CAO+∠ACH=90°，∴∠BCH=∠CAO=∠ACO，∴∠ECH=∠ACO， 即∠ACE+∠ECO=∠DCO+∠ECO，∴∠ACE=∠DCO． （2）连接CO， 由翻折可知∠B=∠CEB，EH=BH， ∵∠B=∠AMC，∠CEB=∠AEM，∴∠AMC=∠AEM，∴AE=AM=10， ∴OC=OA=13，∴3+OH=13-OH，∴OH=5， ∴sin∠ACE=sin∠DCO=． 【变式训练4】如图，与的边相切于点C，与分别交于点D，E，是的直径，过点A作交于M，N两点（点M在线段上）． （1）求证：直线与相切； （2）求证：； （3）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【解析】证明：如图，连接． ∵是直径，∴．∴． ∵，∴．∴为的垂直平分线．∴． 又，∴．∴． ∵是的切线，∴．∴． ∴直线与相切． （2）证明：由（1）知为的切线，∴． ∴为的切线，∴． ∵，∴． ∴．∴． ∵，∴． （3）如图，延长交于点H，连接． ∵，∴． 易得． ∴．即． 设，则．解得或0（舍去）． ∴． ∵，．∴． ∴． 又，∴． ∴． 类型二、圆与相似综合 例1．如图1，内接于⊙O，直线与⊙O相切于点D，与相交于点E，． （1）求证：； （2）如图2，若是⊙O的直径，E是的中点，⊙O的半径为4，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】（1）证明：连接OB，如图所示： ∵直线与⊙O相切于点D，∴， ∵，∴， ∵OD是⊙O的半径，∴，∴， ∵，∴； （2）∵E是的中点，∴，， ∴，∴，∵⊙O的半径为4，∴， ∵是⊙O的直径，∴，∴AB=4，， ∴在Rt△ABE中，由勾股定理得：． 【变式训练1】如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且DE=OE （1）求证：∠BAC＝3∠ACD； （2）点F在弧BD上，且∠CDF＝∠AEC，连接CF交AB于点G，求证：CF＝CD； （3）在（2）的条件下，若OG＝4，FG=11，求⊙O的半径． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【解析】（1）证明：如图1中，连接OD，OC，设∠D＝x． ∵ED＝EO，∴∠D＝∠EOD＝x，∵OD＝OC，∴∠D＝∠OCD＝x， ∴∠CEO＝∠D+∠EOD＝2x，∠COB＝∠OEC+∠OCD＝3x， ∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO， ∵∠A+∠ACO＝∠COB＝3x，∴∠A＝∠ACO＝x，∴∠ACD＝x，∴∠BAC＝3∠ACD． （2）证明：连接CO，延长CO交DF于T． 由（1）可知，∠AEC＝180°﹣2x，∵∠AEC＝2∠CDF，∴∠CDF＝90°﹣x， ∴∠CDF+∠DCO＝90°，∴CT⊥DF，∴DT＝TF，∴CD＝CF． （3）解：连接CO，延长CO交DF于T，过点O作OM⊥CD于M，ON⊥CF于N． 由（2）可知，CD＝CF，CT⊥DF∴∠DCO＝∠FCO＝x， ∵ON⊥CF，OM⊥CD，∴OM＝ON，设OE＝DE＝a，OA＝OB