专题08 圆切线的两种证明方法-【B卷必考】2021-2022学年九年级数学下册压轴题攻略（北师大版，成都专用）

专题08 圆切线的两种证明方法 方法一、有切点、连半径、证垂直 例1．如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作于点E． （1）求证：是的切线． （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】（1）连接， ，，又， ，， 又，，即， ，即，是的切线， （2）连接，得， ∵AB=AC，是的中点，∴BD=CD， 在Rt△ABD中，，∴，， ∵，，∴∠DEC=∠ADC=90°， ∵∠C+∠CDE=∠C+∠DAC=90°，∴∠CDE=∠DAC， ，，即，． 【变式训练1】如图，PA是以AC为直径的☉O的切线，切点为A，过点A作AB⊥OP，交☉O于点B． （1）求证：PB是☉O的切线； （2）若AB＝6，，求PO的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】（1）证明：连接OB， ∵PA是以AC为直径的☉O的切线，切点为A，∴∠PAO＝， ∵OA＝OB，AB⊥OP，∴∠POA＝∠POB，又OP＝OP，∴△PAO△PBO， ∴∠PBO＝∠PAO＝，即OB⊥PB，∴PB是☉O的切线； （2）解：设OP与AB交于点D． ， ∵AB⊥OP，AB＝6，∴DA＝DB＝3，∠PDA＝∠PDB＝， ∵，∴PA＝5，∴PD＝， 在Rt△APD和Rt△APO中， ∵，∴， ∴． 【变式训练2】如图，AB是⊙O的直径，AC交⊙O于点D，BE交AC于点F，BC＝FC． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若BF＝3EF，求tan∠ACE的值． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】（1）证明：连接AE，如图， ∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°．∴∠EAF+∠AFE＝∠EAB+∠ABE＝90°． ∵点E是弧AD的中点，∴．∴∠EAD＝∠ABE．∴∠AFE+∠ABE＝90°． ∵∠AFE＝∠BFC，∴∠ABE+∠CFB＝90°． ∵BC＝FC，∴∠CFB＝∠CBF．∴∠CBF+∠ABE＝90°．∴∠ABC＝90°， ∵AB是⊙O的直径，∴BC是⊙O的切线． （2）连接OE，BD， ∵点E是弧AD的中点，∴OH⊥AD，AH＝HD＝． ∵AB是⊙O的直径，∴BD⊥AD．∴BD∥OE．∴． ∵BF＝3EF，∴． 设EH＝2a，则BD＝6a． ∵OE∥BD，OA＝OB，∴OF＝BD＝3a． ∴OA＝OE＝OH+HE＝5a．∴AB＝2OA＝10a．∴AD＝．∴HD＝AD＝4a． ∵∠ABC＝90°，BD⊥AC，∴△ABD∽△BCD．∴．∴CD＝．∴CH＝HD+CD＝． 在Rt△EHC中，tan∠ACE＝． 【变式训练3】如图，是的外接圆，点D是的中点，过点D作分别交、的延长线于点E和点F，连接、，的平分线交于点M． （1）求证：是的切线； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）见详解；（2）2 【解析】（1）证明：连接OD，如图， ∵点D是的中点，∴，∴OD⊥BC， ∵BC∥EF，∴OD⊥EF，∴EF为⊙O的切线； （2）设BC、AD交于点N， ∵，，，∴，∴DN=， ∵点D是的中点，∴∠BAD=∠CAD=∠CBD， 又∵∠BDN=∠ADB，∴， ∴，即：，∴BD=2， ∵的平分线交于点M，∴∠ABM=∠CBM， ∴∠ABM+∠BAD=∠CBM+∠CBD，即：∠BMD=∠DBM，∴DM=BD=2． 【变式训练4】如图，在中，，以上一点为圆心，的长为半径作，交，分别于，两点，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】（1）证明：连接， ∵，∴， ∵，∴ ∵，∴，∴， ∴，∴，∴为的切线； （2）解：∵，，∴， ∴，∴， ∵，，∴，∴， 设圆的半径为，则， ∵，∴， ∴，解得． 方法二、无切点、作垂直、证半径 例1.如图，AB是⊙O的直径，AM，BN分别切⊙O于点A，B，CD交AM，BN于点D，C，DO平分∠ADC． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AD＝4，BC＝9，求OD的长． 【解析】（1）证明：过O点作OE⊥CD于点E，如图， ∵AM切⊙O于点A，∴OA⊥AD， ∵DO平分∠ADC，∴OE＝OA，∵OA为⊙O的半径，∴OE是⊙O的半径，且OE⊥DC， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：过D作DF⊥BC于F，如图，∵AB是⊙O的直径，AM，BN分别切⊙O于点A，B， ∴AB⊥AD，AB⊥BC，∴四边形ABFD为矩形， ∴BF＝AD＝4，∴CF＝BC﹣BF＝5， ∵DC、AM、BC为圆的切线，∴DA＝DE＝4，CE＝CB＝9，∴DC＝AD+BC＝13， 在Rt△DCF中，DF12，∴AB＝12，∴OA＝6， 在Rt△OAD中，OD2． 【变式训练】如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，OB与⊙O相交于点E． （1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BD，