专题06 二次函数中的动点问题-【B卷必考】2021-2022学年九年级数学下册压轴题攻略（北师大版，成都专用）

专题06 二次函数中的动点问题 类型一、图像问题 例 1．如图，正的边长为4，点为边上的任意一点（不与点，重合），且，交于点．设，，则关于的函数图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵△ABC是正三角形，∴∠B＝∠C＝60°， ∵∠BPD＋∠APD＝∠C＋∠CAP，∠APD＝60°，∴∠BPD＝∠CAP， ∴△BPD∽△CAP，∴BP：AC＝BD：PC， ∵正△ABC的边长为4，BP＝x，BD＝y，∴x：4＝y：（4−x），∴y＝−x2＋x（0＜x＜4） 故选：C． 例2．如图1，正方形的边长和等腰直角的边与重合，边与在一条直线上，以的速度向右移动，直到点与点重合才停止移动，两个图形重叠部分的面积为（），图2所示的是向右移动时，面积（）与随时间（）的变化的关系图象，则的值是（ ） A．16 B．8 C．2 D．4 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是正方形，△FGH为等腰直角三角形，∴AH=AD=AB=BC， ∵△FGH向右移动时，重合部分的面积越来越大，直至△FGH完全在正方形ABCD内部，此时，接着往下运动的话，不完全在正方形ABCD内，则面积减小， ∴图2中是重合部分的面积最大值，∴， ∵以的速度向右移动，由图2可知从开运动到结束用了（a+4）s， ∴2AB=(a+4)×1,∴AB=, ∵,解得：a=4或者a=-4，∴a=4， 故选：D． 【变式训练1】如图，菱形的边长是，，动点P从点A出发，以的速度沿运动至点C，动点Q从点A出发，以的速度沿运动至点C．若P，Q同时出发，设运动时间为，的面积为（当B，P，Q三点共线时，不妨设），则下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当0≤t≤2时，BQ=4﹣2t，AP= t,点P到AB的距离为t， S＝（4﹣2t）×t＝﹣（t﹣1）2+，∴该函数图象开口向下， 当2＜t≤4时，BQ=4﹣2t，点P在AD上，到BC的距离为×4，S＝×（2t﹣4）××4＝2t﹣4， ∴该函数图象是线段，且y随x的增大而增大， 当4＜t≤8时，S＝×4××（8﹣t）＝8﹣t，∴该函数图象是线段，且y随x的增大而减小． 故选：B． 【变式训练2】如图，正方形ABCD的边长为2，点E为BC边上的任意一点(不与点B、C重合)，连接AE，∠BAE的平分线交BC于点P，过P作PF⊥AE于点F，∠FPE的平分线交DC于点Q，设PF＝x，CQ＝y，则y关于x的函数图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵∠BAE的平分线交BC于点P，PB⊥AB，PF⊥AE，∴BP=PF=x， ∵∠BAP=∠FAP，∠ABP=∠AFP=90°，PB=PF，∴△ABP≌△AFP（AAS），∴∠APB=∠APF， ∵PQ平分∠FPC，故∠FPQ=∠CPQ，∵∠APB+∠APF+∠FPQ+∠CPQ=180°，∴∠APF+∠QPF=90°，即AP⊥PQ， ∵∠APB+∠QPC=90°，∠QPC+∠PQC=90°，∴∠APB=∠PQC， ∴tan∠APB=tan∠PQC，则，∴，∴， 故选：C． 【变式训练3】如图，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB与CD之间的距离为4，AD＝5，CD＝3，∠ABC＝45°，点P，Q同时由A点出发，分别沿边AB，折线ADCB向终点B方向移动，在移动过程中始终保持PQ⊥AB，已知点P的移动速度为每秒1个单位长度，设点P的移动时间为x秒，△APQ的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示，分别过点D、点C向AB作垂线，垂足分别为点E、点F， ∵已知AB∥CD，AB与CD之间的距离为4，∴DE=CF=4， ∵点P，Q同时由A点出发，分别沿边AB，折线ADCB向终点B方向移动，在移动过程中始终保持PQ⊥AB， ∴PQ∥DE∥CF， ∵AD=5，∴,∴当时，P点在AE之间，此时，AP=t， ∵,∴，∴， 因此，当时，其对应的图像为，故排除C和D； ∵CD＝3，∴EF=CD=3， ∴当时，P点位于EF上，此时，Q点位于DC上，其位置如图中的P1Q1，则， 因此当时，对应图像为，即为一条线段； ∵∠ABC＝45°，∴BF=CF=4，∴AB=3+3+4=10， ∴当时，P点位于FB上，其位置如图中的P2Q2，此时，P2B=10-t， 同理可得，Q2P2=P2B=10-t，， 因此当时，对应图像为，其为开口向下的抛物线的的一段图像； 故选：B． 【变式训练4】如图，点是菱形边上的动点，它从点出发沿路径匀速运动到点，设的面积为，点的运动时间为，则关于的函数图象大致为（ ） A．B． C． D． 【答案】C 【解析】设菱形的高为h