专题04 二次函数中的几何全等与相似问题-【B卷必考】2021-2022学年九年级数学下册压轴题攻略（北师大版，成都专用）

专题04 二次函数中的几何全等与相似问题 类型一、相似问题 例1．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴正半轴交于点，已知． （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标． （2）若为第一象限抛物线上的一个动点，为轴上的一点，过点作轴，若与以点、、为顶点的三角形相似，求动点的坐标． 【答案】（1）解析式为，顶点的坐标为；（2）动点的坐标为或 【解析】（1）设点的坐标为，则点的坐标为． ∵抛物线的对称轴为，∴，∴， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，抛物线的解析式为，顶点的坐标为 （2）设动点的坐标为， ①当∽时，，则， ∴，（舍去），∴点的坐标为． ②当∽时，，则， ∴，（舍去），∴点的坐标为． ∴动点的坐标为或． 故答案为：（1）解析式为，顶点的坐标为；（2）动点的坐标为或 例2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线（，，是常数）分别交轴于， 两点，与轴交于点，连接，作射线． （1）求抛物线的解析式； （2）点在抛物线上，点在射线上，若以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标； （3）点在射线上，点在抛物线上，若，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）， ，；（3），． 【解析】（1）点代入，得：， ，代入，得：，解得： ∴； （2）分两种情况： ①在第一象限时，设解析式为，则，解得：， ∴， 设， ∵，可由右移1个单位，下移3个单位得到 ∴，代入的解析式得：， 解得：（舍），∴； ②点在第四象限时，设， ∴，代入解析式得：，解得：， ∴ ， 综上所述：，，； （3）分两种情况： ①在第一象限时，作轴，轴，于点， ∵，∴，， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∴，， 设，， 则，，，， 则，解得：（舍）或 ，∴； ②在第四象限 同理可得：，解得：（舍）或， ∴ 综上所述：点N的坐标为： 或 ． 【变式训练1】如图，抛物线与轴交于两点和，与轴交于点C，连接、． （1）求抛物线的解析式； （2）点M在线段上（与A、B不重合），点N在线段上（与B、C不重合），是否存在以C，M，N为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，点N的坐标为：或或 【解析】（1）点，在抛物线上，，解得， 抛物线的解析式为：； （2）存在，理由：点C的坐标为（0,2） 由点A、B、C的坐标得，，，，则， 故为以为斜边的直角三角形，； 以C，M，N为顶点的三角形与△ABC相似，则为直角三角形， 由点B、C的坐标得，直线的表达式为， 点N在上，故设点，设点； ①当为直角时，此时点M与点A重合，不符合题意， ②当为直角时，如图1， 过点N作轴于点G， ，， ，， 当时，，∴， ∴的相似比为，则，， 即且，解得：，故点N的坐标为； 当时，同理可得：（舍去）； ③当为直角时，如图2， 过点N作轴的垂线，垂足为点H，过点C作交的延长线于点G， 当时，同理可得：且相似比为， 则，即，解得：， 故点N的坐标为；当时， 则，而，则点N是的中点，由中点公式得，点； 综上，点N的坐标为：或或． 【变式训练2】如图1，抛物线与轴交于， 两点，与轴交于点，且，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，抛物线的顶点为，其对称轴与线段交于点，求线段的长度； （3）如图3，垂直于轴的动直线分别交抛物线和线段于点和点，连接， ，抛物线上是否存在点，使∽，如果存在，求出点 的坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）2；（3）存在，点的坐标是 【解析】解：（1）如图1， 在抛物线中，令，得，，， ，，， ，，解得：，抛物线的解析式为：； （2）设直线的解析式为， ，，，解得：，直线的解析式为， 如图2 抛物线的顶点坐标为， 当时，，，； （3）如图3 ，， 当时，，由，，， 利用勾股定理，可得，， 设点坐标为，点坐标为， ，，， ，，当时，， 点坐标为． 【变式训练3】如图，开口向上的抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与X轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），顶点为D．经过点A的直线y＝kx+b（k＞0）与抛物线的另一个交点为C． （1）求点C的坐标（用含a、k的代数式表示）．（2）当△ACD的内心恰在X轴上时，求得值． （3）已知△ADB为直角三角形：①a的值等于　 　（直接写出结果）． ②若直线AC下方的拋物线上存在点P，使△APC∽△ADB，求ｋ的值及点P的坐标． 【答案】（1）；（2）2；（3）①；②， 【解析】（1）由，，解得， ∴，． ∵直线经过点A，∴，，∴直线的解析式为． 由，解得：，，∴； （2）过D作Y轴的平行线交于E、交X轴于点F， ∵y＝ax2﹣2ax﹣3a的对称轴为， ∴． ∵轴且点E在直线上，∴． ∵的内心恰在x轴上，∴x轴平分，∴，∴，∴， ∴； （3）①∵△ADB为直角三角形