专题05 二次函数中的几何存在性问题-【B卷必考】2021-2022学年九年级数学下册压轴题攻略（北师大版，成都专用）

专题05 二次函数中的几何存在性问题 类型一、菱形 例1.如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过点A，B两点，与x轴负半轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P在抛物线上，∠PBA=15°，求点P的横坐标； （3）点M在射线AB上，点N在射线AC上，∠BNM=30°，D在坐标平面内，当以B，D，M，N为顶点的四边形为菱形时，直接写出点D的坐标． 【答案】（1）；（2）P点横坐标是或；（3）点D的坐标是（0，1）或或（0，-3）或或（） 【解析】（1）令x=0，则y=3，∴B（0，3） 令y=0，则x=，∴A（，0） ∵抛物线经过点A，B两点，∴，解得： ∴抛物线的解析式是 （2）延长PB交x轴于E tan∠OBA=，∴∠OBA=60° ∴ ∴，∴AE=AB=6，OE=， ∴E点坐标是（，0），OF=OB=3，∴F点坐标是（3，0）， 设BE解析式为，∴n=3，（）m+n=0，解得m=，n=3， ∴BE解析式为，= 解得，∴设BF解析式为 ∴n=3，3m+n=0，解得m=1，n=3，∴BF解析式为 =，解得，∴P点横坐标是或 （3）点D的坐标是（0，1）或或（0，-3）或或（） 以BM为对角线，过点D作DE⊥y轴于点E，当M在B的右侧时，如下图： ∵，∴ ∵，∴ ∴，∴，∴ 设，则， 在中，由勾股定理得， 即，解得， M在B的左侧时，连接DN交BM于点P，如下图： 同上可以求得，，，，，，∴， ∴，，由勾股定理求得，∴ 以MN为对角线，M在B的右侧时，如下图： ∵，∴M与A重合 根据对称，可以求得，M在B点的左侧时，过点D作DE垂直x轴于点E，如下图： ∵，∴，又∵，∴，∴ ∴，即N，O重合，∴ 在中，，求得，，求得 以BN为对角线，M在B的右侧时，如下图： 由题意可知，，∴点D在线段OB上， 设，则，，即，求得，即 M在B的左侧时，如下图：，∴ 此时，以B，D，M，N为顶点的四边形不可能为菱形， 综上所述：点D的坐标是（0，1）或或（0，-3）或或（） 【变式训练1】如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为D，与y轴的交点为C，点A是抛物线对称轴左侧上一点，连结，以，为边构造平行四边形． （1）如图1，当轴时， ①已知，点A的坐标是，求抛物线的解析式； ②若，求b的值； （2）如图2，若，连结交y轴于点E，且，是否存在这样的b值，使四边形是菱形?若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①；②；（2）存在，． 【解析】（1）①当时，，点的坐标是，轴，， 将点代入得：，解得，则抛物线的解析式为； ②如图，过点作于点，连接， 抛物线的对称轴为，顶点的坐标为， ，当时，，即，，， 由二次函数的对称性得：， ，，是等边三角形，， 在中，，，即， 解得或（不符题意，舍去），则的值为； （2）如图，连接，交于点， 四边形是菱形，， 当时，，，， ，，点的横坐标为， 将代入得：，即， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得，则直线的解析式为， ，设直线的解析式为，将点代入得：， 则直线的解析式为， 将点代入得：，解得， 故存在这样的值，使四边形是菱形，的值为． 【变式训练2】如图，已知二次函数（）的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，横坐标分别为，（）的、两点在线段上（不与、重合），过、两点作轴的垂线分别交抛物线于点、，连接． （1）求线段的值． （2）若四边形是平行四边形； ①点、横坐标之和是否为定值，若是定值，请求出；若不是，请说明理由． ②当时，平行四边形能否为菱形；若能，求出菱形的周长：若不能，请说明理由． 【答案】（1）2；（2）①是定值，定值为3；②能为菱形，菱形的周长为． 【解析】（1）当时，，即，解得或， ，； （2）①由题意得：点的横坐标为，点的横坐标为， ， 对于二次函数，当时，，即， 设直线的解析式为，将点代入得：，解得， 则直线的解析式为，， ， ， 四边形是平行四边形，，即， 整理得：， ，，解得，即点、横坐标之和为定值，这个定值为3； ②、两点在线段上（不与、重合），， ，， 将，即代入得：， 由（2）①知，，当时， 则，， 平行四边形为菱形，，即， 解得或（不符题意，舍去）， ， 则菱形的周长为， 即平行四边形能为菱形，菱形的周长为． 类型二、矩形 例1.如图，抛物线过点，A．点B是抛物线的顶点，点D是x轴下方抛物线上的一点，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）如图①，当时，求点D的坐标； （3）如图②，在（2）的条件下，抛物线的对称轴交x轴于点C，交OD于点E，点F是线段上的动点（点F不与点O和点B重合），连接，点B关于直线EF的对应点为点，与的重叠部分为，使以点E，F，G，H为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 【